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| Aufgabe | Aus einem 240 m langen Draht soll ein Quader hergestellt werden.
Dabei verläuft der Draht in der Länge einfach, in der Breite zweifach und in der Höhe dreifach (siehe Zeichnung).
a) Für welche Kantenlängen (l,b,h) ist das Volumen maximal ?
b) Für welche Kantenlängen (l,b,h) ist die Oberfläche maximal ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu a)
Zunächst will ich hinsichtlich der Grundfläche G das optimale Verhältnis Länge/Breite rausfinden.
Da habe ich raus: b=0.25*G und l=0.5*G ,
also: l=2b, d.h. die Länge des Quaders ist doppelt so groß wie die Breite
V=l*b*h sei maximal
das ergibt [mm] V=40*b^{2}-\bruch{8}{3}*b^{3} [/mm] sei maximal
Das ergibt schließlich b=10 , l=20 und [mm] h=6\bruch{2}{3}
[/mm]
Also verhalten sich Länge:Breite:Höhe wie [mm] \bruch{20}{1}:\bruch{20}{2}:\bruch{20}{3}
[/mm]
Das scheint auch logisch zu sein.
Aber wie sieht es mit Teil b) aus = Maximale Oberfläche?
Ist die Oberfläche immer maximal, wenn auch das Volumen maximal ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo rabilein1,
> Aus einem 240 m langen Draht soll ein Quader hergestellt
> werden.
>
> Dabei verläuft der Draht in der Länge einfach, in der
> Breite zweifach und in der Höhe dreifach (siehe
> Zeichnung).
>
> a) Für welche Kantenlängen (l,b,h) ist das Volumen maximal
> ?
> b) Für welche Kantenlängen (l,b,h) ist die Oberfläche
> maximal ?
>
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich sehe hier kein Bild.
> zu a)
> Zunächst will ich hinsichtlich der Grundfläche G das
> optimale Verhältnis Länge/Breite rausfinden.
>
> Da habe ich raus: b=0.25*G und l=0.5*G ,
> also: l=2b, d.h. die Länge des Quaders ist doppelt so groß
> wie die Breite
Wie kommst Du darauf?
>
> V=l*b*h sei maximal
>
> das ergibt [mm]V=40*b^{2}-\bruch{8}{3}*b^{3}[/mm] sei maximal
>
> Das ergibt schließlich b=10 , l=20 und [mm]h=6\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Also verhalten sich Länge:Breite:Höhe wie
> [mm]\bruch{20}{1}:\bruch{20}{2}:\bruch{20}{3}[/mm]
>
> Das scheint auch logisch zu sein.
>
>
> Aber wie sieht es mit Teil b) aus = Maximale Oberfläche?
> Ist die Oberfläche immer maximal, wenn auch das Volumen
> maximal ist?
>
Das kann man so nicht sagen.
Gruß
MathePower
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> Ich sehe hier kein Bild.
Das hatte ich zunächst auch nicht gesehen - war aber wohl ein Systemfehler. Ich hatte alles korrekt eingegeben.
> > Da habe ich raus: b=0.25*G und l=0.5*G ,
> > also: l=2b, d.h. die Länge des Quaders ist doppelt so groß
> > wie die Breite
>
> Wie kommst Du darauf?
Ich hatte aus Platzgründen nicht die ganzen Zwischenschritte angegeben. Der Buchstabe G ist wohl etwas verwirrend. Das muss nicht die Grundfläche sein, man kann da jede x-beliebige Zahl nehmen.
2*b+ l = z (z=beliebige Zahl = Länge des Drahtes auf der Grundfläche)
ergibt sich: l=z-2b
b*l = b*(z-2b) das sei die Grundfläche, die maximal sein soll
Wenn man davon die Ableitung bildet und NULL setzt, dann kommt raus
b=0.25*z
und l = z - 2*0.25z , also l=0.5*z
Und daraus folgt dann:
Die Länge des Quaders ist doppelt so groß wie die Breite (siehe oben)
Soviel zur Erklärung
> > Aber wie sieht es mit Teil b) aus = Maximale Oberfläche?
> > Ist die Oberfläche immer maximal, wenn auch das Volumen
> > maximal ist?
> >
>
> Das kann man so nicht sagen.
Wie ist es denn dann?
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Hallo rabilein1,
> >
> > Ich sehe hier kein Bild.
>
> Das hatte ich zunächst auch nicht gesehen - war aber wohl
> ein Systemfehler. Ich hatte alles korrekt eingegeben.
Ok. Inzwischen sehe ich's auch. Konnte mir das Bild schon vorher vorstellen.
>
> > > Da habe ich raus: b=0.25*G und l=0.5*G ,
> > > also: l=2b, d.h. die Länge des Quaders ist doppelt so groß
> > > wie die Breite
> >
> > Wie kommst Du darauf?
>
> Ich hatte aus Platzgründen nicht die ganzen
> Zwischenschritte angegeben. Der Buchstabe G ist wohl etwas
> verwirrend. Das muss nicht die Grundfläche sein, man kann
> da jede x-beliebige Zahl nehmen.
>
> 2*b+ l = z (z=beliebige Zahl = Länge des Drahtes auf der
> Grundfläche)
> ergibt sich: l=z-2b
>
> b*l = b*(z-2b) das sei die Grundfläche, die maximal sein
> soll
>
> Wenn man davon die Ableitung bildet und NULL setzt, dann
> kommt raus
> b=0.25*z
>
> und l = z - 2*0.25z , also l=0.5*z
>
> Und daraus folgt dann:
> Die Länge des Quaders ist doppelt so groß wie die Breite
> (siehe oben)
>
> Soviel zur Erklärung
>
Ok.
>
> > > Aber wie sieht es mit Teil b) aus = Maximale Oberfläche?
> > > Ist die Oberfläche immer maximal, wenn auch das Volumen
> > > maximal ist?
> > >
> >
> > Das kann man so nicht sagen.
>
>
> Wie ist es denn dann?
>
Das muss man auch ausrechnen.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 05.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
>
> Das muss man auch ausrechnen.
Ich habe das mal teilweise ausgerechnet:
Der volumens-maimale Quader hat sich folgende Oberfläche:
O = 2*(10*20 + 10*6.67 + 20*6.67) = 800 qcm
Da die Höhe ziemlich viel Draht "verbraucht", setze ich diese mal "gegen Null tendierend".
Dann habe ich jeweils 120 cm Draht für den Boden und für den Deckel des Quaders.
Da die Fläche dann am größten ist, wenn die Länge doppelt so groß ist wie die Breite, heißt das:
Länge ist 30 cm und Breite ist 15 cm
(30+15+15+30+15+15=120)
Und dann hat man 2 Mal (Boden und Deckel) eine Fläche von 30*15 = 450 qcm.
Das heißt: Die Oberfläche von so einem gaaaanz flachen Quader wäre schon mal größer als die vom volumen-maximalen Quader !!!
Aber ist damit nun auch die maximal-mögliche Oberfläche erreicht ???
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> Aus einem 240 m langen Draht soll ein Quader hergestellt
> werden.
>
> Dabei verläuft der Draht in der Länge einfach, in der
> Breite zweifach und in der Höhe dreifach (siehe
> Zeichnung).
> b) Für welche Kantenlängen (l,b,h) ist die Oberfläche
> maximal ?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
die Oberfläche A errechnet sich zu
A(l,b,h)=2*(l*b + l*h + b*h)
l,b,h unterliegen Einschränkungen dadurch, daß Du 240m Draht verbrauchen sollst, welcher z.T. mehrfach gelegt werden soll.
Es muß also gelten: 240= 4(l + 2b + 3h) (Nebenbedingung).
Nun würde ich reflexartig eine kleine Extremwertberechnung durchführen - wenn Du möchtest, tue ich das auch, aber Du suchst eher eine Lösung ohne Diffentialrechnung, oder sehe ich das falsch?
EDIT: Ich hab's getan. Dein Ergebnis. h=0. Was die häßliche Eigenschaft hat, daß man dann keinen Quader mehr hat.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Sa 05.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> EDIT: Ich hab's getan. Dein Ergebnis. h=0. Was die häßliche
> Eigenschaft hat, daß man dann keinen Quader mehr hat.
Danke Angela. Genau das Ergebnis, das ich vermutet habe.
Allerdings soll h ja nicht gleich Null sein, sondern - na, sagen wir - die Höhe soll so groß sein, wie ein menschliches Haar in einer Sekunde wächst. Immerhin ist ja ein Quader gefordert.
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> Danke Angela. Genau das Ergebnis, das ich vermutet habe.
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> Allerdings soll h ja nicht gleich Null sein, sondern - na,
> sagen wir - die Höhe soll so groß sein, wie ein
> menschliches Haar in einer Sekunde wächst. Immerhin ist ja
> ein Quader gefordert.
Tja. Und wenn Du diesen Quader hast, dann komme ich mit meinem, der nur die Hälfte der Höhe hat und übertrumpfe Dich flächenmäßig. Das Spiel können wir dann bis ans Ende unserer Tage betreiben - ich möchte lieber nicht dran teilnehmen.
Was Du allerdings tun kannst: wenn Du Dir eine feste Höhe vorgibst, etwa h soll so groß sein, wie ein menschliches Haar in einer Sekunde wächst oder h=1m, dann kannst Du einen Quader mit maximalem Volumen ausrechnen.
Gruß v. Angela
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