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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Sa 12.01.2008 | | Autor: | stew |
| Aufgabe | Die Form einer Schale entsteht durch die Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = [mm] \wurzel{3x + 1} [/mm] um die 1.Achse im Intervall [mm] \{0;5\}
[/mm]
(Einheiten in cm)
a) Zeichnen Sie zunächst den Graphen!
b) Berechnen Sie das Volumen der Schale!
c) In der Schale wird 0,1 Liter Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser im Gefäß?
d) Welche Höhe muss die Schale mindestens haben, damit sie 1/4 Liter Wasser fasst? |
Hallo!
Ich hab den Graphen gezeichnet und das Volumen der Schale berechnet.
V = [mm] 42,5\*\pi [/mm] = 133,5 [mm] E^{3}
[/mm]
Leider weiß ich bei c) und folglich auch bei d) nicht, wie ich zur Lösung komme..
Kann mir bitte jemand helfen?
glg stew
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
bei der c) würde ich einfach die obere Integrationsgrenze variabel machen; sprich das Rotationsvolumen im Intervall [0;k] und das ganze dann mit den 0,1 gleichsetzen und nach k auflösen.
Somit erhälst du mit k "bis wohin das Gefäß gefüllt sein muss".
bei der d) würde ich prinzipiell das selbe machen nur, dass du die Gleichung mit 0,25 gleichsetzen musst.
Wenn du es dir mal "räumlich vorstellst" ist ja die Höhe der Schale quasi dein x- Achsenabschnitt.
In der Grundaufgabe im Intervall [0;5] hat das Gefäß z.B. eine Höhe von 5.
Hoffe das hilft dir weiter.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Sa 12.01.2008 | | Autor: | stew |
Hallo!
Zuerst danke...
Ich kann mir das räumlich gut vorstellen, x=Höhe..etc.
Ich hoff nur, dass ich diese Rechenschritte hinkrieg..
Werd's mal probieren.
glg stew
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 12.01.2008 | | Autor: | stew |
Hi!
Hab jetzt lang herumgerechnet, ich komm aber zu keiner glaubhaften Lösung. Bitte korrigier mich, wenn nötig: Ich setz in meine Volumen-Formel als obere Integralgrenze k ein, integriere, und setz es mit 0,1 gleich. Ich erhalte so den Wert k, müsste also jene Höhe sein, bis zu welcher die Schale gefüllt ist. Ich komm da auf: [mm] \pi \* k^{2} [/mm] + k = 0,06. Das ist doch sicher falsch, oder??
glg stew
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Es kommt dir vllt seltsam vor aber "viel falsch" ist daran nicht; ich erhalte beim Lösen mit meinem Rechner einen Wert für k=0,030441 (und k=-0,37, aber der ist ja zu vernachlässigen).
Dein Ergebnis von k=0,0516 liegt also nicht sooo weit daneben; aber ich kann dich leider nirgends konkret korrigieren, da ich deinen Rechenweg nicht vor Augen habe.
Wenn wir mit unsere Maßstäben rechnen liegt hier ja auch ein Gefäß vor, in welches insgesamt 133,518 L hineinpassen, wenn man es bis zur Höhe 5 befüllt.
Da ist es für mich nicht "so unglaublich", dass nur so ein kleines Ergebnis herauskommt.
Außerdem ergibt ein Einsetzen der Lösung als obere Grenze des Integrals auch, dass k=0,030441 korrekt sein sollte.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 12.01.2008 | | Autor: | stew |
Hallo!
Naja, ist ja nicht ganz weit weg...
Das Ergebnis lautet laut Lehrer h=4,28 cm.
Das kapier ich aber nicht..
Hab ich die Gleichung richtig aufgestellt, die du mir geraten hast so (?):
[mm] \pi \* \bruch{3 . k^{2}}{2} [/mm] + k = 0,1
glg stew
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Ohwei ohwei entschuldige bitte vielmals meine Schusseligkeit.
Merk dir für die Zukunft; immer erst die Aufgabenstellung korrekt lesen :D
Die besagt:
(Einheiten in cm)
Daher gilt, dass unser Gefäß nicht wie, dummerweise von mir vorher angenommen, 133 L fasst sondern nur 0,13 L.
Entschuldige bitte vielmals.
Die richtige Rechnung muss daher lauten:
[mm] \pi*\integral_{0}^{k}{f(x)^{2} dx} [/mm] = 100
Dann wirst auch die die richtige Lösung mit
k=4,2853 (und k=-4,95197) erhalten.
In deine Gleichung eingesetzt, erhalte ich leider nur k=4,5017
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 13.01.2008 | | Autor: | stew |
Hallo!
Vielen Dank!!!!!
Ich krieg jetzt auch das Gleiche raus wie du.
Immerhin...könnt sich auch der Lehrer mal ein bisschen verechnet haben.
glg stew
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