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| Aufgabe | | Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers |
die allerbesten Grüße in das beste Forum
wir haben in der letzten Woche das Volumen von Rotationskörpern berechnet, mir sind die Formeln bei Rotation um die x-Achse bzw. um die y-Achse klar
gibt es die Möglichkeit mit einem Programm das zu kontrollieren?
als Beispiel [mm] \integral_{0}^{4}{x^{2} dx} [/mm] kann ich ja in Funkyplot kontrollieren, kennt ihr eine Möglichkeit, das Volumen von Rotationskörpern berechnen zu lassen, nach Möglichkeit Freeware wie Funkyplot
immer auf eine Lösung hoffend und gleichzeitig jetzt schon Danke Klaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch einfach das Rotationsvolumen hin und kontrollier das Integral wie gewohnt.
Oder hab ich deine Frage nicht verstanden?
[mm] f(x)=x^2 [/mm] um die x Achse rotiert: [mm] \pi*\integral_{0}^{4}{(x^2)^2 dx}
[/mm]
um die y Achse [mm] rotiert:\integral_{0}^{2}{\wurzel{y}^2 dy}
[/mm]
Oder wie habt ihr das gemacht?
Gruss leduart
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Danke ihr meint, ich brauche kein extra Programm, um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, ich bilde z.B. bei Rotation um die x-Achse das Quadrat der gegebenen Funktion, berechne das Integral mit den gegebenen Grenzen, das kann ja auch Funkyplot, dann noch den Faktor [mm] \pi [/mm] sehe ich das so richtig? Klaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Floid |
siehst du soweit richtig.
nochmal zusammengefasst
Rotation um die x-Achse:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{y² dx}
[/mm]
bzw.
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{[f(x)]² dx}
[/mm]
Rotation um die y-Achse:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{x² dy}
[/mm]
hier bräuchte man ja eigentl. die Umkehrfunktion es gibt aber noch folgende formel.
V = [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{x*f(x)dx}
[/mm]
ich weis allerdings nich ob das eine allgemein gültige formel ist.
gruß flo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wo hast Du denn diese Formel her
V = $ [mm] 2\cdot{}\pi [/mm] $ * $ [mm] \integral_{a}^{b}{x\cdot{}f(x)dx} [/mm] $ ?????
Die stimmt nicht. Nimm zB. [a,b] = [-1,1] und f(x) = 1.
FRED
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Hallo Fred die Formel für Rotation um y-Achse kenne ich auch so [mm] V=2\pi\integral_{a}^{b}{(xf(x)) dx} [/mm] siehe auch ![[]](/images/popup.gif) wikipedia jetzt hast du natürlich ein Beispiel gewählt f(x)=1 diese Funktion ist aber nicht streng monoton ergo für f(x)=1 dürfen wir die obige Formel nicht anwenden, das Volumen ist für dein gewähltes Beispiel Null (das "sieht" man ja sofort), sind meine Überlegungen so richtig? Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Formel und deren Voraussetzungen waren mir nicht bekannt.
FRED
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> Hallo Fred die Formel für Rotation um y-Achse kenne ich
> auch so [mm]V=2\pi\integral_{a}^{b}{(xf(x)) dx}[/mm] siehe auch
> wikipedia
> jetzt hast du natürlich ein Beispiel gewählt f(x)=1 diese
> Funktion ist aber nicht streng monoton ergo für f(x)=1
> dürfen wir die obige Formel nicht anwenden, das Volumen ist
> für dein gewähltes Beispiel Null (das "sieht" man ja
> sofort), sind meine Überlegungen so richtig? Klaus
Monotonie oder strenge Monotonie von f muss für diese
Formel keineswegs vorausgesetzt werden !
Sie gilt auch im Beispiel der konstanten Funktion: Es wird
nicht nur der Graph um die y-Achse rotiert, sondern das
Flächenstück zwischen dem Graph, der x-Achse und den
Geraden x=a und x=b. Empfehlenswert ist [mm] 0\le [/mm] a < b.
Die Formel ist trotzdem mit Vorsicht anzuwenden: sie
liefert nicht immer dasselbe Volumen wie die Rotation
des Gebietes zwischen dem Graph und der y-Achse
um diese.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Herzlichen Dank:
"Empfehlenswert ist $ [mm] 0\le [/mm] $ a < b"
Grüße FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Floid |
die formel habe ich von meiner (ehemaligen) mathe-lehrerin. ich hatte mir nur keine einschränkungen dazu aufgeschrieben. der vorteil liegt eben darin, das man keine umkehrfunktion bilden muss und ggf. zeit spart.
viele grüße flo
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