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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 30.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] die affin - lineare Abbildung
f(x) := A x + b
mit A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n , [mm] \IR [/mm] ), b [mm] \in \IR^n [/mm] . Dann gilt für jedes Kompaktum K [mm] \subset \IR^n [/mm]
Vol(f(K)) = |det(A)| Vol(K) |
Hallo
Mir ist der Beweis unklar
[mm] 1_{f(K)} [/mm] (Ax+b) + [mm] 1_{K} [/mm] (x)
für alle x [mm] \in \IR [/mm] (wobei 1 die charakteristische Funktion ist)
Wieso gilt das??
Aus einem vorigen Satz wissen wir:
Sei f [mm] \in H^{pfeil} (\IR^n) [/mm] und seien A [mm] \in [/mm] GL (n , [mm] \IR), [/mm] b [mm] \in \IR^n [/mm] . Dann gehört die Funktion x-> f(Ax+b) ebenfalls zu [mm] H^{pfeil} [/mm] und es gilt:
[mm] \int_{\IR^n} [/mm] f(Ax+b)dx = [mm] \frac{1}{|det(A)|} \int_{\IR^n} [/mm] f(x) dx.
Wenn ich dein Satz auf meine Situation (Falls det A [mm] \not=0) [/mm] anwende. Steht aber die determinante auf der falschen seite (bzw ich dividiere statt multipliziere mit der determinante)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Walde |
Hi sissile,
> Sei f : [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR^n[/mm] die affin - lineare Abbildung
> f(x) := A x + b
> mit A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n , [mm]\IR[/mm] ), b [mm]\in \IR^n[/mm] . Dann gilt
> für jedes Kompaktum K [mm]\subset \IR^n[/mm]
> Vol(f(K)) = |det(A)| Vol(K)
> Hallo
> Mir ist der Beweis unklar
> [mm]1_{f(K)}[/mm] (Ax+b) + [mm]1_{K}[/mm] (x)
Hier fehlt irgendwo ein "=", oder?
Ich denke, es müsste so heißen: [mm] 1_{f(K)}(Ax+b)= 1_{K}(x)
[/mm]
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] (wobei 1 die charakteristische
> Funktion ist)
> Wieso gilt das??
Betrachte die Definitionen: [mm] 1_{f(K)}(Ax+b)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } Ax+b\in f(K) \\ 0, \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Es gilt Ax+b=f(x). Die Defintion von f(K) sollte sein [mm] f(K):=\{f(x)\in\IR|x\in K\}, [/mm] d.h. [mm] f(x)\in [/mm] f(K) [mm] \gdw x\in [/mm] K.
Dann schau dir noch die Def. von [mm] 1_K(x) [/mm] an, dann stehts da.
>
> Aus einem vorigen Satz wissen wir:
> Sei f [mm]\in H^{pfeil} (\IR^n)[/mm] und seien A [mm]\in[/mm] GL (n , [mm]\IR),[/mm]
> b [mm]\in \IR^n[/mm] . Dann gehört die Funktion x-> f(Ax+b)
> ebenfalls zu [mm]H^{pfeil}[/mm] und es gilt:
Ich muss grad mal doof fragen, welcher Raum mit [mm] H^{pfeil} [/mm] gemeint ist.
> [mm]\int_{\IR^n}[/mm] f(Ax+b)dx = [mm]\frac{1}{|det(A)|} \int_{\IR^n}[/mm]
> f(x) dx.
>
> Wenn ich dein Satz auf meine Situation (Falls det A [mm]\not=0)[/mm]
> anwende. Steht aber die determinante auf der falschen seite
> (bzw ich dividiere statt multipliziere mit der
> determinante)
Nein, das passt, ich glaube es verwirrt dich, dass das f im Satz und das f in der Aufgabenstellung nicht dieselben sind. Verwende den Satz mit [mm] f=1_{f(K)}
[/mm]
zZ ist: Vol(f(K)) = |det(A)| Vol(K)
[mm] Vol(K)=\integral_{\IR^n}{1_K(x)dx}=\integral_{\IR^n}{1_{f(K)}(Ax+b)dx} [/mm] jetzt musst du nur den Satz anwenden.
LG walde
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