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| Aufgabe | Ein quaderförmiges Speicherbecken für eine Flüssigkeit hat eine Grundfläche von [mm] 5m^2 [/mm] und ist zunächst leer. Der Graph gibt die Zufluss- bzw. Abflussrate (in [mm] \bruch{m^3}{h}) [/mm] der Flüssigkeit über einen Zeitraum von 5 Stunden wieder.
a) Bestimmen Sie näherungsweise das Volumen der in den ersten drei Stunden zufließenden Flüssigkeit. |
Hallo,
da ich den Graphen hier nicht reinstellen konnte, hier einmal die Werte:
x=0 y=0
x=1 y=4
x=2 y=4,5
x=3 y=0
Ich habe bei dieser Aufgabe leider überhaupt keinen Ansatz, wie man das rechnen könnte. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 05.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein quaderförmiges Speicherbecken für eine Flüssigkeit
> hat eine Grundfläche von [mm]5m^2[/mm] und ist zunächst leer. Der
> Graph gibt die Zufluss- bzw. Abflussrate (in
> [mm]\bruch{m^3}{h})[/mm] der Flüssigkeit über einen Zeitraum von 5
> Stunden wieder.
>
> a) Bestimmen Sie näherungsweise das Volumen der in den
> ersten drei Stunden zufließenden Flüssigkeit.
> Hallo,
>
> da ich den Graphen hier nicht reinstellen konnte, hier
> einmal die Werte:
> x=0 y=0
> x=1 y=4
> x=2 y=4,5
> x=3 y=0
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe leider überhaupt keinen
> Ansatz, wie man das rechnen könnte. Kann mir jemand
> helfen?
Du musst hier eine Funktion [mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] erstellen, dazu reichen die vier Bedingungen
Aus x=0|y=0 folgt f(0)=0, also [mm] a\cdot0^3+b\cdot0^{2}+c\cdot0+d=0, [/mm] vereinfacht d=0
Aus x=1|y=4 folgt f(1)=4, also [mm] a\cdot1^3+b\cdot1^{2}+c\cdot1+d=4, [/mm] vereinfacht a+b+c+d=4
Aus x=2 und y=4,5 folgt also 8a+4b+2c+d=4,5, und aus x=3 und y=0 folgt 27a+9b+3c+d=0
Löse also mit den dir bekannten Mitteln das GLS
[mm] \begin{vmatrix}a+b+c+d=4\\8a+4b+c+d=4,5\\27a+9b+3c+d=0\\d=0\end{vmatrix}
[/mm]
EDIT, Danke Diophant:
Mit der nun bestimmten Funktion hast du die Momentane Zulauffunktion. Diese musst du dann noch Integrieren, um eine Volumenfunktion zu bekommen, es gilt dann:
[mm] V(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx [/mm] = F(t)
Die Integrationskonstante ist dann hier 0, denn das Becken ist zu Beginn leer.
Marius
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Okay, vielen Dank. Ich verstehe nur nicht, wieso d immernoch in der Gleichung auftaucht, obwohl d=0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 05.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay, vielen Dank. Ich verstehe nur nicht, wieso d
> immernoch in der Gleichung auftaucht, obwohl d=0 ist?
Um dich nicht zu verwirren. [mm] $d\$ [/mm] ist Null und bleibt Null.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:18 So 05.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich habe das mal als fundamentalen Fehler markiert aus dem einfachen Grund, dass man damit:
> Du musst hier eine Funktion [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> erstellen, dazu reichen die vier Bedingungen
eben die Aufgabenstellung noch nicht lösen kann. Diese Funktion ist die Ableitung einer gesuchten Funktion, welche das Volumen in Abhängigkeit der ZEit beschreibt. Der Zusammenhang Ableitung-Grundfunktion sollte klar sein, ich möchte hier jedoch zusätzlich anmerken, dass es bei solchen Aufgabenstellungen gerne gesehen wird, wenn man das als Integralfunktion notiert, auch wenn es hier nicht zwingend erforderlich ist.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:39 So 05.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant
Ich habe deinen Hinweis noch ergänzt.
Marius
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:43 So 05.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Ich habe deinen Hinweis noch ergänzt.
Vielen Dank. Mir ging es halt darum, dass sich da keine falsche Vorstellung beim Fragesteller einschleicht, auch im Hinblick darauf, dass da dieses Schuljahr eine Abitur-Prüfung ansteht...
Beste Grüße & schönen Sonntag, Johannes
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 14:51 So 05.10.2014 | | Autor: | rmix22 |
M.Rex hat nur festgestellt, dass zur Lösung der Aufgabe die Funktion f(x) zu bestimmen ist und dafür die vier Bedingungen ausreichen.
Das ist doch durchaus richtig.
Dass diese Funktion noch nicht das gewünschte Endergebnis ist und damit noch operiert werden muss, ist angesichts der Aufgabenstellung (gesucht ist ein Volumen) doch offensichtlich und auch im Sinne dieses Forums, keine Komplettlösungen anzubieten.
Gruß RMix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 15:01 So 05.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> M.Rex hat nur festgestellt, dass zur Lösung der Aufgabe
> die Funktion f(x) zu bestimmen ist und dafür die vier
> Bedingungen ausreichen.
> Das ist doch durchaus richtig.
Darum geht es ja auch gar nicht. Fakt ist aber, dass im Themenstart nach der Berechnung eines Volumens gefragt wird und die Antwort (wenn man die offensichtliche Unkenntnis des Themenstarters hinsichtlich der Bedeutung der Konzepte Ableitung und Integral berücksichtigt) nahelegt, dass man mit dieser Ableitung, die man so bekommt wie angeraten, direkt das Volumen berechnen kann.
PS: ich verstehe das nicht, was du hier bezweckst, wo du doch auf der anderen Seite eine hilfreiche Antwort gegeben hast. Aber man muss auch nicht alles verstanden haben...
Gruß, Diophant
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:23 So 05.10.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
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> > M.Rex hat nur festgestellt, dass zur Lösung der Aufgabe
> > die Funktion f(x) zu bestimmen ist und dafür die vier
> > Bedingungen ausreichen.
> > Das ist doch durchaus richtig.
>
> Darum geht es ja auch gar nicht. Fakt ist aber, dass im
> Themenstart nach der Berechnung eines Volumens gefragt wird
> und die Antwort (wenn man die offensichtliche Unkenntnis
> des Themenstarters hinsichtlich der Bedeutung der Konzepte
> Ableitung und Integral berücksichtigt) nahelegt, dass man
> mit dieser Ableitung, die man so bekommt wie angeraten,
> direkt das Volumen berechnen kann.
>
> PS: ich verstehe das nicht, was du hier bezweckst, wo du
> doch auf der anderen Seite eine hilfreiche Antwort gegeben
> hast. Aber man muss auch nicht alles verstanden haben...
>
> Gruß, Diophant
Ich hab schon verstanden, dass dir die Antwort von M.Rex nicht weit genug gegangen ist und du es gern gesehen hättest, wenn er auch noch einen Hinweis auf die nötige Integration gegeben hätte.
Ich finde allerdings, dass das keinesfalls ein Grund ist, die Antwort von M.Rex als "fundamentalen Fehler" zu kennzeichnen, daher meine Mitteilung.
Wenn ich der Meinung bin, dass ein Antwortgeber in seiner Hilfestellung nicht weit genug gegangen ist, dann schieb' ich eben einfach eine weitere, ergänzende Antwort oder Mitteilung nach, oder?
Gruß RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 05.10.2014 | | Autor: | rmix22 |
Generell sehe ich hier nicht zwingend die Notwendigkeit einer Modellierung durch eine konkrete Funktion und wenn es so sein soll, müsste man den gegebenen Graphen sehen um entscheiden zu können, ob eine Polynomfunktion dritten Grades eine adäquate Näherung sein kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grundsätzlich könnte ich mir bei dieser Aufgabe aber auch die Anwendung eines numerischen Näherungsverfahrens, eventuell unter Einbeziehung weiterer, der gegebenen Grafik entnommener Zwischenpunkte, vorstellen oder schlicht das Überziehen der Grafik mit einem Raster und anschließendem Kästchenzählens. Es hängt wohl davon ab, in welchem unterrichtlichen Kontext diese Aufgabe steht.
Das Wesentliche scheint mir zu sein, dass hier die Notwendigkeit des Integrierens erkannt werden soll.
Gruß RMix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 05.10.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ergänzung:
Da die Aufgabe im Netz als Abitur-Musteraufgabe zu finden ist
http://www.schule.sachsen.de/ppdf/2012_04_Mathematik_Muster.pdf
http://www.hamburg.de/contentblob/3371990/data/mustermat1.pdf
kennen wir nun auch den gegebenen Graphen.
Es scheint sich um eine Polynomfunktion vierten Grades [mm] ($p(x)=\br{1}{4}*\left({x^4-7x^3+7x^2+15x}\right)$) [/mm] zu handeln, jedoch ist deren Bestimmung augenscheinlich nicht Intention dieser Aufgabe - es geht tatsächlich ums Kästchenzählen. Es wird ein damit ermitteltes Volumen im Bereich von 7m³ bis 10m³ erwartet (mit obiger Funktion erhalten wir ca. 9,3 m³).
Gruß RMix
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