Volumen dreiseitige Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S. Berechne ihr Volumen auf 2 Arten, wenn A(0/0/0), B(0/5/2), C(5/3/0), S(2/3/1). |
Okay,
[mm] V=\bruch{1}{6}*|\vec{c}*(\vec{a}\times\vec{b})|
[/mm]
mit
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overline{AB}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overline{AC}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overline{AS}
[/mm]
Nur bekomm ich irgendwie kein richtiges Ergebnis raus, bzw. kommen mir unterschiedliche Ergebnisse raus,wenn ich mit der Formel V=G*h rechne.
Meine Ergebnisse:
[mm] (\vec{a}\times\vec{b}) [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 0 \\ -25}
[/mm]
Und erste Variante [mm] V=\bruch{9}{2}
[/mm]
(Laut Lösungsbuch sollte [mm] V=\bruch{7}{6} [/mm] rauskommen.)
Wenn ich jetzt die Variante V=G*h rechne, kann ich G= [mm] \bruch{1}{6}*|\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] verwenden. Für die Höhe brauch ich die Hesse'sche Normalform, um mir den Abstand der Spitze zur Ebene zu berechnen. Und hier hab ich auch ein Problem.
Stelle ich die Ebenengleichung ax+by+cz=d auf,hab ich ein Problem,denn meine Ebene wäre dann
[mm] \varepsilon: [/mm] 6x+25z=d
Für d bekomm ich aber je nach Punkt ein anderes Ergebnis.
Was mache ich falsch???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche
> ABC und der Spitze S. Berechne ihr Volumen auf 2 Arten,
> wenn A(0/0/0), B(0/5/2), C(5/3/0), S(2/3/1).
> Okay,
> [mm]V=\bruch{1}{6}*|\vec{c}*(\vec{a}\times\vec{b})|[/mm]
>
> mit
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overline{AB}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\overline{AC}[/mm]
> [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\overline{AS}[/mm]
>
> Nur bekomm ich irgendwie kein richtiges Ergebnis raus, bzw.
> kommen mir unterschiedliche Ergebnisse raus,wenn ich mit
> der Formel V=G*h rechne.
>
Hey
die Formel lautet ja auch
[mm] V_{Pyramide}=\red{\bruch{1}{3}}*G*h
[/mm]
> Meine Ergebnisse:
> [mm](\vec{a}\times\vec{b})[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 0 \\ -25}[/mm]
> Und
> erste Variante [mm]V=\bruch{9}{2}[/mm]
> (Laut Lösungsbuch sollte [mm]V=\bruch{7}{6}[/mm] rauskommen.)
>
> Wenn ich jetzt die Variante V=G*h rechne, kann ich G=
> [mm]\bruch{1}{6}*|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm] verwenden. Für die Höhe
> brauch ich die Hesse'sche Normalform, um mir den Abstand
> der Spitze zur Ebene zu berechnen. Und hier hab ich auch
> ein Problem.
> Stelle ich die Ebenengleichung ax+by+cz=d auf,hab ich ein
> Problem,denn meine Ebene wäre dann
> [mm]\varepsilon:[/mm] 6x+25z=d
> Für d bekomm ich aber je nach Punkt ein anderes Ergebnis.
>
> Was mache ich falsch???
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit der Grundfläche
> ABC und der Spitze S. Berechne ihr Volumen auf 2 Arten,
> wenn A(0/0/0), B(0/5/2), C(5/3/0), S(2/3/1).
> Okay,
> [mm]V=\bruch{1}{6}*|\vec{c}*(\vec{a}\times\vec{b})|[/mm]
>
> mit
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overline{AB}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\overline{AC}[/mm]
> [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\overline{AS}[/mm]
>
> Nur bekomm ich irgendwie kein richtiges Ergebnis raus, bzw.
> kommen mir unterschiedliche Ergebnisse raus,wenn ich mit
> der Formel V=G*h rechne.
>
> Meine Ergebnisse:
> [mm](\vec{a}\times\vec{b})[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 0 \\ -25}[/mm]
> Und
> erste Variante [mm]V=\bruch{9}{2}[/mm]
> (Laut Lösungsbuch sollte [mm]V=\bruch{7}{6}[/mm] rauskommen.)
>
> Wenn ich jetzt die Variante V=G*h rechne, kann ich G=
> [mm]\bruch{1}{6}*|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm] verwenden. Für die Höhe
> brauch ich die Hesse'sche Normalform, um mir den Abstand
> der Spitze zur Ebene zu berechnen. Und hier hab ich auch
> ein Problem.
> Stelle ich die Ebenengleichung ax+by+cz=d auf,hab ich ein
> Problem,denn meine Ebene wäre dann
> [mm]\varepsilon:[/mm] 6x+25z=d
> Für d bekomm ich aber je nach Punkt ein anderes Ergebnis.
>
> Was mache ich falsch???
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm](\vec{a}\times\vec{b})[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 10 \\ -25}[/mm]
die y-komponente lautet y= 10 NICHT y = 0
und das ergibt in der tat [mm]V=\frac{7}{6}[/mm]
wie kommst du denn auf die ebene, die lautet doch mit obigem normalvektor
[mm]E: -6x+10y-25z=0[/mm]
und nun in deren HNF S einsetzen liefert auch die richtige höhe
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Das Volumen hat den Faktor [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ,weil es eine dreiseitige Pyramide (Grundfläche ist ein Dreieck = Halbes Parallelogram) ist und deshalb das Kreuzprodukt aus den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] halbiert werden muss.
ad Weduwe:
Ich hab den Vektor durch -1 "gekürzt" und dann für die Ebenengleichung verwendet, aber wenn die y-Koordinate 10 ist,geht das nicht mehr...
Danke vielmals!
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| Aufgabe | | Berechne den Fusspunkt und gib die Oberfläche der Pyramide an. |
Für eine Fusspunktberechnung muss ich die Parameterdarstellung für die Höhe in die Ebenengleichung einsetzten, den variablen Faktor damit berechnen und in die Parameterdarstellung einsetzen. Richtig?
Zur Berechnung der Oberfläche:
Kann ich da nehmen [mm] O=G+3*A_{ABS} [/mm] oder muss ich rechnen [mm] O=G+A_{ABS}+A_{CAS}+A_{BCS}?
[/mm]
[mm] A_{ABS}=\bruch{1}{2}*|\vec{a}\times\vec{c}|
[/mm]
[mm] A_{CAS}=\bruch{1}{2}*|\vec{c}\times\vec{d}|
[/mm]
[mm] A_{BCS}=\bruch{1}{2}*|\vec{e}\times\vec{f}|
[/mm]
mit [mm] \vec{d}=\overline{CA};\vec{e}=\overline{BC};\vec{f}=\overline{BS}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 24.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Berechne den Fusspunkt und gib die Oberfläche der Pyramide
> an.
> Für eine Fusspunktberechnung muss ich die
> Parameterdarstellung für die Höhe in die Ebenengleichung
> einsetzten, den variablen Faktor damit berechnen und in die
> Parameterdarstellung einsetzen. Richtig?
richtig
>
> Zur Berechnung der Oberfläche:
> Kann ich da nehmen [mm]O=G+3*A_{ABS}[/mm] oder muss ich rechnen
> [mm]O=G+A_{ABS}+A_{CAS}+A_{BCS}?[/mm]
variante 2 ist richtig, da die dreiecke nicht gleich groß sind
>
> [mm]A_{ABS}=\bruch{1}{2}*|\vec{a}\times\vec{c}|[/mm]
> [mm]A_{CAS}=\bruch{1}{2}*|\vec{c}\times\vec{d}|[/mm]
> [mm]A_{BCS}=\bruch{1}{2}*|\vec{e}\times\vec{f}|[/mm]
>
> mit
> [mm]\vec{d}=\overline{CA};\vec{e}=\overline{BC};\vec{f}=\overline{BS}[/mm]
>
>
und zu dem vorher: durch (-1) kannst du immer kürzen/ dividieren
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Ja,richtig,aber in diesem Fall wäre es sinnvoll (einfacher,wie auch immer ;)) gewesen,weil dann alle Minus wegfallen würden...
Danke nochmal!
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