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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mi 14.02.2007 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | f(x)=y=(-2e^-1)x + 8e^-1 und die Koordinatenachsen begrenzen eine Dreiecksfläche. Bei der der Rotation um die y-Achse entsteht ein Kreiskegel.
Berechnen Sie die Maßzahl des Volumen. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
So ich hab als erstes mal das Volumen mit Hilfe der Gleichung
V=1/3 [mm] \pi [/mm] r² h berechnet. r ist 4 (NST bei x=4) und h ist 8e^-1
Dabei komme ich auf ein Volumen von rund 49,31 VE
So jetzt hab ich mich an die Berechnung mit Hilfe von Integration gemacht.
Zunächst muss ja die Umkehrfunktion gebildet werden.
Da bekomme ich g(x)=y= (-1/(2e^-1)) x + 4
Nun gilt ja:
V= [mm] \pi \integral_{0}^{4}{g(x)² dx}
[/mm]
Nach dem quadrieren erhalte ich (1/(4e^-2)) x² + 4
Wenn ich das dann integriere komme ich auf (1/(12e^-2))x³ + 16x
Wenn ich nun die Grenzen einsetze und noch mit [mm] \pi [/mm] multipliziere kommt da was völlig anderes raus :-/
Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mi 14.02.2007 | | Autor: | riwe |
> f(x)=y=(-2e^-1)x + 8e^-1 und die Koordinatenachsen
> begrenzen eine Dreiecksfläche. Bei der der Rotation um die
> y-Achse entsteht ein Kreiskegel.
> Berechnen Sie die Maßzahl des Volumen.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> So ich hab als erstes mal das Volumen mit Hilfe der
> Gleichung
>
> V=1/3 [mm]\pi[/mm] r² h berechnet. r ist 4 (NST bei x=4) und h
> ist 8e^-1
> Dabei komme ich auf ein Volumen von rund 49,31 VE
>
>
> So jetzt hab ich mich an die Berechnung mit Hilfe von
> Integration gemacht.
>
> Zunächst muss ja die Umkehrfunktion gebildet werden.
>
> Da bekomme ich g(x)=y= (-1/(2e^-1)) x + 4
>
> Nun gilt ja:
>
> V= [mm]\pi \integral_{0}^{4}{g(x)² dx}[/mm]
>
> Nach dem quadrieren erhalte ich (1/(4e^-2)) x² + 4
> Wenn ich das dann integriere komme ich auf (1/(12e^-2))x³
> + 16x
> Wenn ich nun die Grenzen einsetze und noch mit [mm]\pi[/mm]
> multipliziere kommt da was völlig anderes raus :-/
>
> Danke für Hilfe.
wie bildest du den die umkehrfunktion?
umstellen der geraden nach y ergibt bei mir, soferbne ich deine "schreiberei" richtig interpretiere:
[mm]x=-\frac{e}{2}(y-\frac{8}{e})[/mm]
und die 2. frage, wie quadrierst du?
[mm]x²=\frac{y²e²}{4}-4e\cdot y+16[/mm]
und überhaupt: wo ist die dreiecksfläche?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mi 14.02.2007 | | Autor: | matter |
Ich bilde die Umkehrfunktion so, dass ich erst x und y vertausche und dann wieder nach y umstelle.
Dabei komme ich aber auf exakt das Selbe was du da auch hast. Und wenn ich dann eben x und y nicht vertausche und dann nicht so komisch ausklammere wie du kommt eben
x= (-ye/2) + 4 raus
Wie meinst du "wo ist die Dreiecksfläche" ? Dreieck mit 3 Punkten (0/0) (0/ 8e^-1) und (4/0)
Komme irgendwie trotzdem nicht weiter
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Hallo matter!
Deine Umkehrfunktion habe ich auch erhalten. Allerdings machst Du beim Quadrieren einen Fehler: Du musst schon die  binomische Formeln beachten:
[mm] $[g(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(4-\bruch{e}{2}*x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4^2-2*4*\bruch{e}{2}*x+\left(\bruch{e}{2}*x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 16-4e*x+\bruch{4}{e^2}*x^2$
[/mm]
Kommst Du nun auf Dein gewünschtes Ergebnis?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mi 14.02.2007 | | Autor: | matter |
Ah ja. Da ist ja eine binomische Formel. Vielen Dank für den Hinweis. Moment ich rechne es eben durch.
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> f(x)=y=(-2e^-1)x + 8e^-1 und die Koordinatenachsen
> begrenzen eine Dreiecksfläche. Bei der der Rotation um die
> y-Achse entsteht ein Kreiskegel.
> Berechnen Sie die Maßzahl des Volumen.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> So ich hab als erstes mal das Volumen mit Hilfe der
> Gleichung
>
> V=1/3 [mm]\pi[/mm] r² h berechnet. r ist 4 (NST bei x=4) und h
> ist 8e^-1
> Dabei komme ich auf ein Volumen von rund 49,31 VE
>
>
> So jetzt hab ich mich an die Berechnung mit Hilfe von
> Integration gemacht.
>
> Zunächst muss ja die Umkehrfunktion gebildet werden.
>
> Da bekomme ich g(x)=y= (-1/(2e^-1)) x + 4
>
> Nun gilt ja:
>
> V= [mm]\pi \integral_{0}^{4}{g(x)² dx}[/mm]
Hallo,
ich würde - abgesehen davon, daß Du, wie bereits erwähnt, richtig quadrieren mußt - die Integrationsgrenzen infrage stellen wollen...
Genauer: die obere Grenze.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:55 Mi 14.02.2007 | | Autor: | matter |
Also erstmal auch dank an Angela. Als Grenzen müssen die y-Werte eingesetzt werden. Also 0 und 8e^-1 !
Wenn ich nun rechne komme ich auf das richtige Ergebnis:
V= [mm] \pi \integral_{0}^{8e^-{1}}{g(x)² dx} [/mm] = 128/3 [mm] \pi [/mm] e^-{1} [mm] \approx [/mm] 49,31 VE
Wobei g(x)² = [mm] \bruch{1e²}{12} [/mm] x³ - 2ex² + 16x
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