Volumen einer Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 04.01.2005 | | Autor: | jasiVIP |
Ich weis dass das volumen einer pyramide hilfreich dazu ist, das volumen einer kugel auszurechnen.
Kann man das Volumen einer Pyramide mit einem Satz herausfinden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ich weis dass das volumen einer pyramide hilfreich dazu
> ist, das volumen einer kugel auszurechnen.
Das würde mich ja mal interessieren, wie das zusammenhängt!?
> Kann man das Volumen einer Pyramide mit einem Satz
> herausfinden?
Ich weiß nicht, was du haben möchtest. Mir fällt da nur etwas ein, dass wir in Analysis 3 auf der Uni gelernt haben, aber das ist für dich wahrscheinlich viel zu schwierig.
Das Volumen einer Pyramide ist aber:
[mm] V_{Pyramide}=\bruch{1}{3} [/mm] Grundfläche*Höhe
Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Also was genau die Pyramide mit der Kugel zu tun haben soll, weiß ich so auf Anhieb auch nicht...
Was bei Vektorrechnung oft gebraucht wird, um ein Pyramidenvolumen zu berechnen: oft sind die 4 Eckpunkte der Grundfläche gegeben, sowie die Spitze.
Wenn die 4 Eckpunkte eine "einfache" Form haben (z.B. Quadrat, Rechteck etc.), dann lässt sich die Grundfläche ja leicht berechnen (oft beginnt die Aufgabe mit "Zeigen Sie, dass die 4 Punkte ein Quadrat bilden" oder ähnlich).
Dann braucht man noch die Höhe, also den senkrechten Abstand der Spitze zu dieser Bodenebene. Und die kann man leicht mit Hilfe der Hesse-Normalen-Form (HNF) berechnen: einfach die HNF der Grundfläche bestimmen, dort die Koordinaten der Spitze einsetzen, und fertig (falls negativ, einfach den Betrag bilden) - man hat die Höhe, und kann mit Bastianes Formel das Volumen berechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Das ist im Prinzip fast richtig. Man braucht nicht das Volumen einer Pyramide dazu, sonder das Volumen eines Kegels (hat aber die gleiche Volumenformel [mm]V=\frac{G\cdot h}{3}[/mm]).
Aber weiter braucht man noch das Prinzip von Cavallieri:
Sind zwei Körper gleich gross und sind die Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich gross, dann haben die Körper das gleiche Volumen.
Das wendet man jetzt folgendermassen an. Man betrachte eine Halbkugel (Radius r), die auf der Aequatorfläche steht. Dann umschliesst man die Halbkugel mit einem Zylinder (Grundkreisradius r, Höhe r).
Der erste Körper ist (aufgepasst!), das was vom Zylinder übrig bleibt, wenn man die Halbkugel wegnimmt.
Der zweite Körper ist ein auf der Spitze stehender Kegel der Höhe r und mit Grundkreisradius r.
Jetzt zeigt man, dass diese beiden Körper das Cavallieriprinzip erfüllen.
Wir schneide beide Körper in der Höhe h entzwei. Die Querschnittsfläche des Kegels ist ein Kreis mit Radius h. Die Fläche ist also [mm]\pi h^2[/mm].
Die Querschnittsfläche des ersten Körpers ist ein Kreisring mit den Radien [mm]\sqrt{r^2-h^2}[/mm] und r. Berechnet man die Fläche, so erhält man wiederum [mm]\pi h^2[/mm].
Also haben die beiden Körper das gleiche Volumen (nach Cavallieri).
Es gilt also
[mm]V_{\mathrm{Kegel}}=V_{\mathrm{Zylinder}}-V_{Halbkugel}[/mm]
daraus kann man dann das Volumen der Kugel bestimmen, da man die Volumen von Kegel und Zylinder kennt.
mfG Moudi
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