Volumen eines Sektglases < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Hohlraum einer Sektschale entsteht durch Rotation der Funktion f mit [mm] f(x)=k*\wurzel{x} [/mm] um die 1. Achse. Der Hohlraum ist 4 cm hoch und der Rand hat einen Radius von 6 cm.
1)Wie hoch steht der Flüssigkeitsspiegel im Glas, wenn ein Achtelliter Sekt eingeschenkt wird (1 Liter= 1000 cm³)
2) Wie hoch müsste das Glas mindestens sein, damit ein Viertelliter Sekt darin Platz hätte? |
Das Volumen zu berechnen war noch einfach
zunächst k berechnen=
[mm] 6=k*\wurzel{4}
[/mm]
k=3
die Integrationsgrenzen sind zwischen 0;4
[mm] V=\pi*\int (3*\wurzel{x})^2 [/mm] dx
V= [mm] \pi*(9*\bruch{x^2}{2})
[/mm]
4 [mm] einsetzen=\pi*72=226,1946711 [/mm] E³
Es ist mir zwar nun sehr peinlich diese Frage zu stellen, doch ich weiß nun nicht wie ich mir 1) 2) damit berechne. Kann das bitte jemand erklären;), denn mein Versuch den Achtelliter durch 226,19 zu dividieren ist falsch.
THX im Voraus!
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> Der Hohlraum einer Sektschale entsteht durch Rotation der
> Funktion f mit [mm]f(x)=k*\wurzel{x}[/mm] um die 1. Achse. Der
> Hohlraum ist 4 cm hoch und der Rand hat einen Radius von 6
> cm.
> 1)Wie hoch steht der Flüssigkeitsspiegel im Glas, wenn ein
> Achtelliter Sekt eingeschenkt wird (1 Liter= 1000 cm³)
> 2) Wie hoch müsste das Glas mindestens sein, damit ein
> Viertelliter Sekt darin Platz hätte?
> Das Volumen zu berechnen war noch einfach
> zunächst k berechnen=
> [mm]6=k*\wurzel{4}[/mm]
> k=3
> die Integrationsgrenzen sind zwischen 0;4
> [mm]V=\pi*\int (3*\wurzel{x})^2[/mm] dx
> V= [mm]\pi*(9*\bruch{x^2}{2})[/mm]
> 4 [mm]einsetzen=\pi*72=226,1946711[/mm] E³
>
> Es ist mir zwar nun sehr peinlich diese Frage zu stellen,
> doch ich weiß nun nicht wie ich mir 1) 2) damit berechne.
> Kann das bitte jemand erklären;), denn mein Versuch den
> Achtelliter durch 226,19 zu dividieren ist falsch.
> THX im Voraus!
Natürlich ist das Füll-Volumen nicht proportional zur
Füllhöhe. Das wäre nur bei einem zylindrischen Glas so.
Du musst aus dem gegebenen Füllvolumen (Wert des
bestimmten Integrals) die dazu passende Obergrenze
für das Integral berechnen. Berechne also zuerst V(h)
in Abhängigkeit von h und bestimme dann h so, dass
V(h)= 125 [mm] cm^3
[/mm]
LG
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Wie berechne ich mir V(h) bzw. in welche Gleichung muss ich nun was einsetzen? Mir ist unklar, was du gemeint hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Wie berechne ich mir V(h) bzw. in welche Gleichung muss ich
> nun was einsetzen? Mir ist unklar, was du gemeint hast.
Das Sektglas liegt ja auf der Seite, und die Randfunktion hast du ja mit [mm] f(x)=3\cdot\sqrt{x} [/mm] bestimmt.
Das bedeutet, dass die Höhe h des Sektglases hier ebenfalls waagerecht liegt, und du das Volumen dann wie folgt bestimmen kannst.
[mm] V(h)=\pi\cdot\int\limits_{0}^{h}\left(3\cdot\sqrt{x}\right)^{2}dx
[/mm]
Marius
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V(h)=8*> > Wie berechne ich mir V(h) bzw. in welche Gleichung muss
> ich
> > nun was einsetzen? Mir ist unklar, was du gemeint hast.
>
> Das Sektglas liegt ja auf der Seite, und die Randfunktion
> hast du ja mit [mm]f(x)=3\cdot\sqrt{x}[/mm] bestimmt.
>
> Das bedeutet, dass die Höhe h des Sektglases hier
> ebenfalls waagerecht liegt, und du das Volumen dann wie
> folgt bestimmen kannst.
>
> [mm]V(h)=\pi\cdot\int\limits_{0}^{h}\left(3\cdot\sqrt{x}\right)^{2}dx[/mm]
>
> Marius
[mm] 125=\bruch{9*\pi*h^2}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{250}{9*\pi}=h^2
[/mm]
h=2,973540194 ca. 2,97 [mm] cm^3
[/mm]
Stimmt das?
Noch einmal vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> V(h)=8*> > Wie berechne ich mir V(h) bzw. in welche
> Gleichung muss
> > ich
> > > nun was einsetzen? Mir ist unklar, was du gemeint
> hast.
> >
> > Das Sektglas liegt ja auf der Seite, und die Randfunktion
> > hast du ja mit [mm]f(x)=3\cdot\sqrt{x}[/mm] bestimmt.
> >
> > Das bedeutet, dass die Höhe h des Sektglases hier
> > ebenfalls waagerecht liegt, und du das Volumen dann wie
> > folgt bestimmen kannst.
> >
> >
> [mm]V(h)=\pi\cdot\int\limits_{0}^{h}\left(3\cdot\sqrt{x}\right)^{2}dx[/mm]
> >
> > Marius
>
> [mm]125=\bruch{9*\pi*h^2}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{250}{9*\pi}=h^2[/mm]
> h=2,973540194 ca. 2,97 [mm]cm^3[/mm]
> Stimmt das?
> Noch einmal vielen Dank.
Das Ergebnis stimmt, aber denke bitte nochmal über die Einheit nach.
Marius
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