Volumen eines Torus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo,
sorry, hatte vorhin zwar schon einen Thread eröffnet, allerdings macht die Aufgabe mir mehr Probleme, als ich zunächst dachte. Zuerst mal die komplette Aufgabe:
K sei der Kreis mit Mittelpunkt M(0|3) und Radius 1. Durch Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Torus.
b) Zeigen Sie, dass für das Volumen V des Torus gilt: V = [mm] 12\pi \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^{2}}dx}= 6\pi^{2}.
[/mm]
Bestimmen Sie dazu das Integral [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^{2}}dx}, [/mm] indem Sie es als Flächeninhalt eines Halbkreises deuten.
c) Bestimmen Sie das Volumen eines Torus, wenn der rotierende Kreis den Mittelpunkt [mm] M(0|y_{m}) [/mm] und den Radius r hat. Lösen Sie das dabei auftretende Integral mithilfe eines Computers.
Also zunächst zu b)
Mithilfe des anderen Threads gelang es mir schließlich, als Ergebnis das Integrals [mm] \pi/2 [/mm] rauszukommen. Wie komme ich nun davon auf die geforderten [mm] 6\pi^{2}? [/mm] Ich hab schon mal angedacht, man könnte schon mal [mm] \pi/2 [/mm] mal zwei rechnen, um die komplette Kreisfläche zu haben, aber weiter weiß ich dann auch nicht mehr.
zu c)
Na ja, keine Ahnung um ehrlich zu sein. Vllt muss man dafür auch die b) erst gemacht haben. Da der Radius sich unterscheiden kann, kann man ja aber eigentlich nicht mehr die Funktion [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] holen, sondern muss sich andere suchen, oder?
Wäre nett, wenn sich das mal jmd angucken könnte. Mach daran schon über 2 Stunden rum.
Die Frage wurde nirgends anders gestellt.
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Hallo Marius90,
> Hallo,
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> sorry, hatte vorhin zwar schon einen Thread eröffnet,
> allerdings macht die Aufgabe mir mehr Probleme, als ich
> zunächst dachte. Zuerst mal die komplette Aufgabe:
>
> K sei der Kreis mit Mittelpunkt M(0|3) und Radius 1. Durch
> Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Torus.
> b) Zeigen Sie, dass für das Volumen V des Torus gilt: V =
> [mm]12\pi \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^{2}}dx}= 6\pi^{2}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie dazu das Integral
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^{2}}dx},[/mm] indem Sie es als
> Flächeninhalt eines Halbkreises deuten.
> c) Bestimmen Sie das Volumen eines Torus, wenn der
> rotierende Kreis den Mittelpunkt [mm]M(0|y_{m})[/mm] und den Radius
> r hat. Lösen Sie das dabei auftretende Integral mithilfe
> eines Computers.
>
>
> Also zunächst zu b)
> Mithilfe des anderen Threads gelang es mir schließlich,
> als Ergebnis das Integrals [mm]\pi/2[/mm] rauszukommen. Wie komme
> ich nun davon auf die geforderten [mm]6\pi^{2}?[/mm] Ich hab schon
> mal angedacht, man könnte schon mal [mm]\pi/2[/mm] mal zwei
> rechnen, um die komplette Kreisfläche zu haben, aber weiter
> weiß ich dann auch nicht mehr.
>
Nach der ![[]](/images/popup.gif) 2. Guldin'schen Regel kommst Du darauf.
>
> zu c)
> Na ja, keine Ahnung um ehrlich zu sein. Vllt muss man
> dafür auch die b) erst gemacht haben. Da der Radius sich
> unterscheiden kann, kann man ja aber eigentlich nicht mehr
> die Funktion [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] holen, sondern muss sich
> andere suchen, oder?
>
Stimmt genau.
>
> Wäre nett, wenn sich das mal jmd angucken könnte. Mach
> daran schon über 2 Stunden rum.
>
> Die Frage wurde nirgends anders gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hey, danke! Damit wäre die b) endgültig erledigt. :)
Zur c) nun...
Nach dieser Regel muss ich ja V = A * U rechnen.
U wäre in diesem Fall ja U = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] y_{m}
[/mm]
Durch Ausprobieren mit Derive habe ich rausgefunden, das die neue Funktion wahrscheinlich [mm] \wurzel(r^{2}-x^2) [/mm] sein wird. Stimmt das? Und wenn ja, normalerweise kann man ja nicht mit Derive rumprobieren. Kann man auf diese Funktion nur durch math. Überlegungen kommen?
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Hallo Marius90,
> Hey, danke! Damit wäre die b) endgültig erledigt. :)
>
> Zur c) nun...
>
> Nach dieser Regel muss ich ja V = A * U rechnen.
>
> U wäre in diesem Fall ja U = 2 * [mm]\pi[/mm] * [mm]y_{m}[/mm]
>
> Durch Ausprobieren mit Derive habe ich rausgefunden, das
> die neue Funktion wahrscheinlich [mm]\wurzel(r^{2}-x^2)[/mm] sein
> wird. Stimmt das? Und wenn ja, normalerweise kann man ja
> nicht mit Derive rumprobieren. Kann man auf diese Funktion
> nur durch math. Überlegungen kommen?
Nimm die allgemeine Kreisgleichung:
[mm]\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
Daraus ergibt sich die neue Funktion.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Super, vielen Dank! Endlich fertig, war ne schwere Geburt. :)
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