Volumen mit 3-Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 13.05.2013 | | Autor: | xts |
| Aufgabe | | Welches Volumen V hat ein Körper, der durch Drehung der Kurve z=1+cos x, 0 ≤ x ≤ [mm] \pi [/mm] um die z-Achse entsteht? |
1. Kann ich die Funktion so lassen oder muss ich die zB in Zylinderkoordinaten o.ä. umrechnen?
2. Wären x=0 und [mm] x=\pi [/mm] die Integrationsgrenzen? Dann würde der Körper ja wie ein "Mauelwurfshügel" aussehen.
3. Wo bekomme ich dann die Grenzen für die anderen Integrale her? Würde ich da einfach weitergehen in der Periode?
4. Bisher hatten wir nur Doppelintegrale, funktionieren die Regeln dann alle analog zu den Mehrfachintegralen oder gibt es noch Randbedingungen o.ä.?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 13.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Welches Volumen V hat ein Körper, der durch Drehung der
> Kurve z=1+cos x, 0 ≤ x ≤ [mm]\pi[/mm] um die z-Achse entsteht?
> 1. Kann ich die Funktion so lassen oder muss ich die zB in
> Zylinderkoordinaten o.ä. umrechnen?
eine Umrechnung ist nicht nötig.
>
> 2. Wären x=0 und [mm]x=\pi[/mm] die Integrationsgrenzen? Dann
> würde der Körper ja wie ein "Mauelwurfshügel" aussehen.
Ja, das sind die Grenzen.
>
> 3. Wo bekomme ich dann die Grenzen für die anderen
> Integrale her? Würde ich da einfach weitergehen in der
> Periode?
Welche anderen Integrale?
>
> 4. Bisher hatten wir nur Doppelintegrale, funktionieren die
> Regeln dann alle analog zu den Mehrfachintegralen oder gibt
> es noch Randbedingungen o.ä.?
Welche Regeln meinst Du?
Du brauchst hierfür übrigens kein Mehrfachintegral. Schau mal bei Wiki o.ä. nach Rotationsvolumen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Di 14.05.2013 | | Autor: | xts |
Da das Ergebnis V= [mm] \pi^3 [/mm] -4 [mm] \pi [/mm] sein soll und der ganze Aufgabenzettel nur Doppel- und Mehrfachintegrale enthält, war ich bei dieser Aufgabe auch davon ausgegangen.
Wenn es nur ein "normales Rotationsvolumen" ist, muss ich ja für die z-Achsenrotation die Umkehrfunktion bilden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 14.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Da das Ergebnis V= [mm]\pi^3[/mm] -4 [mm]\pi[/mm] sein soll und der ganze
Ich komme auf ein anderes Ergebnis.
> Aufgabenzettel nur Doppel- und Mehrfachintegrale enthält,
> war ich bei dieser Aufgabe auch davon ausgegangen.
Man kann das auch mit einem Dreifachintegral ausrechnen - ist aber nicht nötig.
>
> Wenn es nur ein "normales Rotationsvolumen" ist, muss ich
> ja für die z-Achsenrotation die Umkehrfunktion bilden
> oder?
Nein, wieso? Du kannst auch einfach $f(x)=z$ setzen.
Gruß,
notinX
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> Da das Ergebnis V= [mm]\pi^3[/mm] -4 [mm]\pi[/mm] sein soll und der ganze
> Aufgabenzettel nur Doppel- und Mehrfachintegrale enthält,
> war ich bei dieser Aufgabe auch davon ausgegangen.
>
> Wenn es nur ein "normales Rotationsvolumen" ist, muss ich
> ja für die z-Achsenrotation die Umkehrfunktion bilden
> oder?
Nein, das musst du nicht. Es ist angenehmer, das Integral
aus einem Integral nach z zu einem Integral mit der
Integrationsvariablen x zu transformieren:
$\ V\ =\ [mm] \pi\ [/mm] *\ [mm] \integral_{z=0}^{z=2}x(z)^2\ [/mm] dz\ =\ [mm] \pi\ [/mm] *\ [mm] \integral_{x=\pi}^{x=0}x^2\ *\frac{dz}{dx}*dx$
[/mm]
Beachte insbesondere die Grenzen sowie deren Reihenfolge !
[mm] $\frac{dz}{dx}$ [/mm] steht natürlich für die Ableitung der
Funktion z(x) nach der Variablen x .
Das Ergebnis [mm] $\pi^3-4\,\pi$ [/mm] für das gesuchte Volumen ist
übrigens richtig. Da muss sich notinX wohl geirrt haben.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabenzettel nur Doppel- und Mehrfachintegrale enthält,
> war ich bei dieser Aufgabe auch davon ausgegangen.
>
Die bekannte(n) Formel(n) für das Volumen eines Rotationskörpers ergeben sich aus dem Prinzip von Cavalieri.
http://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri
Die strenge Begründung dieses Prinzips erfolgt mit dem Satz von Fubini.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Di 14.05.2013 | | Autor: | xts |
Danke, hab's jetzt mit Zylinderkoordinaten und nem 3-fach-Integral gelöst und habe das gewünschte Ergebnis bekommen.
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