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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Fr 30.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir bezeichnen mit [mm] K_n [/mm] (r) := [mm] \{ x \in \IR^n : ||x|| \le r \}
[/mm]
die n dimensionale abgeschlossene Kugel mit Radius r [mm] \ge [/mm] 0. Nach vorigen bsp gilt
[mm] Vol(K_n [/mm] (r))= [mm] r^n [/mm] Vol [mm] (K_n [/mm] (1));
es genügt also das Volumen
[mm] \tau_n [/mm] := Vol [mm] (K_n(1)) [/mm] der n dimensionalen Einheitskugel zu berechnen. |
Wir haben das mit dem Cavaliersche Prinzip gemacht.
[mm] K_1 [/mm] (1) = [-1 ,1 ] [mm] \subset [/mm] R , folgt [mm] \tau_1 [/mm] =2
Kamen auf [mm] \tau_n =\tau_{n-1} \int_{-1}^{1} (1-t^2)^{\frac{n-1}{2}} [/mm] dt
bzw nach transformation auf: [mm] \tau_{n} [/mm] = [mm] \tau_{n-1} [/mm] * 2 [mm] \int_0^{\pi/2} sin^n [/mm] x dx
nun sei [mm] c_n [/mm] := [mm] \int_{-1}^{1} (1-t^2)^{\frac{n-1}{2}} [/mm] dt =2 [mm] \int_0^{\pi/2} sin^n [/mm] x dx
Aus den vorigen Sem: [mm] c_{2k} [/mm] = [mm] \pi \prod_{m=1}^k \frac{2m-1}{2m},
[/mm]
[mm] c_{2k+1} [/mm] = 2 [mm] \prod_{m=1}^k \frac{2m}{2m+1}
[/mm]
Für jede natürliche zahl n gilt deshalb
[mm] c_n c_{n-1} [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{n}
[/mm]
Man erhät die Rekursionsformel: [mm] \pi_n [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{n} \tau_{n-2}
[/mm]
Wie zur Hölle kommt man nun vom vorigen Schritt auf??:
[mm] \tau_{2k} [/mm] = [mm] \frac{1}{k!} \pi^k
[/mm]
[mm] \tau_{2k+1} [/mm] = [mm] \frac{2^{k+1}}{1*3*..*(2k+1)} \pi^k
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
man kommt darauf durch Einsetzen der Rekursionsformel :
[mm] \tau_n [/mm] = $ [mm] \frac{2 \pi}{n} \tau_{n-2} [/mm] $ ergibt zusammen mit [mm] \tau_0 [/mm] = 1 und [mm] \tau_1 [/mm] = 2
für gerade n : n = 2k :
[mm] \tau_2 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{2} \tau_{0} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{2}
[/mm]
[mm] \tau_4 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{4} \tau_{2} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{4} \frac{2 \pi}{2}
[/mm]
[mm] \tau_6 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{6} \tau_{4} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{6} \frac{2 \pi}{4} \frac{2 \pi}{2} [/mm] = [mm] \frac{ \pi}{3} \frac{ \pi}{2} \frac{ \pi}{1} [/mm] = [mm] \frac{\pi^k}{k!} [/mm] für k = 3
für ungerade n : n = 2k+1 :
[mm] \tau_3 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{3} \tau_{1} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{3} [/mm] 2
[mm] \tau_5 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{5} \tau_{3} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{5} \frac{2 \pi}{3} [/mm] 2
[mm] \tau_7 [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{7} \tau_{5} [/mm] = [mm] \frac{2 \pi}{7} \frac{2 \pi}{5} \frac{2 \pi}{3} [/mm] 2 = [mm] \frac{2^k \pi^k}{(2k+1)(2k-1) ... 1} [/mm] 2 für k = 3
Gruß Sax.
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