Volumen und Geradenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte
A( - 6 ; 8 ; 7 ) , B( - 3 ; - 4 ; 4 ) , C( 1 ; - 8 ; 6 ) und D( 9 ; - 4 ; - 2 ) .
a) Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B
und C gegeben ist. ( mögliches Ergebnis: 2x + y 2z = - 18 )
c) Zeigen Sie, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechnen Sie
den Abstand des Punktes D von der Ebene E.
e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der
Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet.
Durch [mm] h_{k} [/mm] : [mm] \vec{x}=\vektor{-6\\8\\7}+t*\vektor{1+2k\\2-2k\\2+k} [/mm] (t,k [mm] \in \IR)
[/mm]
ist eine Geradenschar mit dem
gemeinsamen Punkt A gegeben.
g) Entscheiden Sie, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar hk ist. |
Hi,
die Aufgaben oben sehen nach viel aus, aber ich habe diese Aufgabenteile nur gepostet, damit ihr die nötigen Informationen habt.
Ich habe nun folgende zwei Fragen (von denen die Letzte aber die Wichtigste ist!:
Es handelt sich hier um eine von der Bezirksregierung genehmigte Aufgabe für das Abitur 2006.
Die Lösung ist ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 10-11 des PDF Dokuments zu sehen.
Es geht mir Primär um die angegebene Lösung der Aufgabe e), in der man den Flächeninhalt des Dreieckes ABC und das Volumen der Pyramide, woei um die Aufgabe g), in der man entscheiden soll, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar ist.
Aufgabe e):
Die Dreiecksfläche habe ich folgendermaßen berechnet:
[mm] A=\bruch{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|
[/mm]
Denn der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ist ja der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren habe ich schon in Teilaufgabe a) brechnet, und habe [mm] \vektor{-36\\-18\\36} [/mm] heraus, die Länge des Vektors ist 54, also ist der Flächeninhalt des Dreiecks A=27 [FE].
In der Lösung aber wird die Höhe des Dreiecks etc etc berechnet, so dass man da auf irgendeinen krummen Wert kommt. Gibt es da eine Erklärung für, warum die oben genannte Eigenschaft des Betrages des Kreuzproduktes nicht benutzt wird?
Gut, die Höhe der Dreieckspyramide habe ich ja schon in Teilaufgabe c) berechnet, indem ich den Abstand des Punktes D von der Ebene E, in dem alle drei Punkte A, B und C liegen, mit d=12 [LE] berechnet habe (wie es auch die Lösung vorgibt).
Somit ist doch [mm] V=\bruch{1}{3}*g*h=\bruch{1}{3}*27*12=108 [/mm] [VE]
Die Lösung spricht hier von ungefähr 108 VE, da sie die Dreiecksfläche nur genähert berechnet haben.
Hier ist dann nur meine Frage: Warum gibt die Lösung ungefähr 108VE an, obwohl es doch nach meiner Rechnung GENAU 108 VE sind?
Man sagt doch sonst immer, besonders im LK möge man nicht mit gerundeten Werten rechnen etc.
Nächste Frage zur Teilaufgabe g)
Hier ist die Gerade
AC: [mm] \vec{x}=\vektor{-6\\8\\7}+z*\vektor{7\\-16\\-1} [/mm] gegeben (der Richtungsvektor ist der Vektor AC).
Ebenso ist die Geradenschar [mm] \vec{x}=\vektor{-6\\8\\7}+t*\vektor{1+2k\\2-2k\\2+k} [/mm] gegeben.
Die Lösung rechnetn nun [mm] \vektor{7\\-16\\-1}=\vektor{1+2k\\2-2k\\2+k} [/mm] , kommt zu einem Widerspruch, und behauptet, dass die Gerade AC nicht zur Geradenschar [mm] h_{k} [/mm] gehöre.
Mein Überlegung hingegen führte mich zu der Rechnung:
Wenn die Gerade AC zur Ebenenschar [mm] h_{k} [/mm] gehört, dann muss ein Vielfaches des Richtungsvektores der Geraden AC (also der Vektor AC) gleich dem Richtungsvektor der Geradenschar [mm] h_{k} [/mm] sein.
ALso habe ich das LGS
[mm] c*\vektor{7\\-16\\-1}=\vektor{1+2k\\2-2k\\2+k} [/mm] aufgestellt, und als Lösung [mm] c=-\bruch{1}{3} [/mm] und k=-5/3 herausbekommen.
Es ergab sich in der Rechnung keinen Widerspruch, und ich habe mal k und c in die oben genannte Bedingung eingesetzt, und es kommt der selbe Vektor heraus.
Nun kann ich ja daraus schließen, dass die Gerade AC eine Gerade der Geradenschar [mm] h_{k} [/mm] ist, was aber im Gegensatz zur Lösung steht.
Ich behaupte, dass die Lösung falsch ist, denn diese setzt ja an, dass man den Richtungsvektor der Geraden AC genau gleich einem Richtungsvektor der Geradenschar sein muss.
Aber die Gerade AC ist doch auch dann eine Gerade der Geradenschar, wenn irgendein vielfaches des Richtungsvektors AC gleich einem Richtungsvektor der Geradenschar [mm] h_{k} [/mm] ist, was mein Ansatz ja sagt.
Nun auch hier die Frage an euch:
Ist meine Behauptung wahr, dass die Gerade AC eine Gerade der Geradenschar ist?
Vielen Dank fürs Durchlesen und Antworten=)
Sláin,
Kroni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:31 Sa 07.04.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
Zu Ihrer ersten Frage:
Auch bei der Lösung kommt A=27 heraus. Nur wird dort der Flächeninhalt nicht ausgerechnet, sondern nur die Höhe und |AB|.
Einen besonderen Grund warum in der Lösung nicht mit dem Kreuzprodukt gerechnet wird, gibt es nach meinem Ermessen nicht.
Zu Ihrer zweiten Frage:
Die Lösung rechnet nur mit einer Nährung. 18^(1/2) ist nicht genau 4,24
Deshalb kommt bei dieser Aufgabe das Ergebnis nicht genau auf 108
Zu Ihrer dritten frage:
Ich denke, dass ihr Behauptung falsch ist, und die Gerade AC keine Gerade der Geradenschar hk ist.
Ihr Fehler besteht darin, dass sie 2 verscheidene Parameter für die Richtungsvektoren wählen.
Wenn man nur ein Parameter für die Richtungsvektoren wählt, dürfen auch die Vektoren keine Vielfache voneinander sein und es gilt dann nur noch zu verifizieren, dass die Richtungsvektoren gleich sind.
Bei dieser Aufgabe stößt man auf eine Widerspruch, also sind die Richtungsvektoren nicht dieselben. Daraus folgt, dass die Gerade AC keine Gerade der Geradenschar hk ist.
Mit freundlichen Grüßen
R. Kleiner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau hierin besteht ja meine Frage:
Was genau bedeutet das, bzw. wann genau ist eine Gerade g eine Gerade einer Geradenschar hk.
Heißt das vereinfacht gesehen, dass der Richtungsvektor der Geraden AC gleich Richtungsvektor von hk sein muss, was zu einem Widerspruch führt?
Oder aber heißt es, dass die Gerade AC, welche ich ja auch umschreiben kann, indem ich den Richtungsvektor mit einem Skalar multipliziere, und somit "verkürze" oder "verlängere", und sage, dass ein das Vielfache des Richtungsvektors der Gerade AC gleich einem Richtungsvektor von hk ist.
Denn meine Überlegung lautet folgendermaßen:
Die Gerade AC, nach der ja gefragt ist, lässt sich ohne Zweifel so schreiben:
[mm] \vec{x}=\vektor{-6\\8\\7}+z*\vektor{7\\-16\\-1}
[/mm]
Aber die Gerade AC kann ich doch auch umschreiben zu:
[mm] \vec{x}=\vektor{-6\\8\\7}+z'*\vektor{-7/3\\16/3\\1/3}, [/mm] und das ist doch genau die selbe Gerade AC.
Und hier kann ich dann sagen, dass ich für k=-5/3 eine Lösung bekomme.
Und somit ist es doch bestätigt, dass die Gerade AC eine Gerade der obigen Schar hk ist.
Hier ist dann meine Frage, ob diese "verlängerung" oder "verkürzung" des Richtungsvektors erlaubt ist oder nicht.
Denn für mich handelt es sich bei beiden Schreibweisen der Gerade um die SELBE Gerade, da ist es doch völlig egal, ob der Richtungsvektor nun so oder das 1,5-Fache des Vektors AC ist oder sonst wie.
Ich hoffe ihr versteht, worüber ich nachdenke, und warum ich mit der oben genannten Argumentation zu dem Ergebnis komme, dass die Gerade AC eine Gerade der Geradenschar hk ist.
Sláin,
Kroni
|
|
|
| |
|
Ja, vereinfacht gesehen heißt dies, dass bei dieser Aufgabe die Skalare gleich sein müssen. Sie können bei solchen Aufgaben nicht einfach einen Skalar vor einem Vektor weglassen oder einfach verschiedene Skalare holen. Da die Parameter gleich sind, kürzen sie sich weg. Also müssen die Richtungsvektoren gleich sein. Dies führt dann zu einem Widerspruch.
Gruss
R. Kleiner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für die Antwort, dann weiß ich bescheid.
Für mich stellte sich diese Frage nur gestern, und da ich mit dem Ansatz auf das Ergebnis gekommen bin, dass AC in der Geradenschar liegt, die Lösung aber den Ansatz ohne Skalar machte, wusste ich nicht bescheid.
Trotzdem fühle ich mich bei der Behauptung, dass AC keine Gerade der Geradenschar ist, unwohl, da ich ja durch Umformen der Gerade AC einen Richtungsvektor erzeugen kann, der dann zur Geradenschar gehörte.
So könnte ich dann ja sagen, dass die Gerade mit dem "veränderten" Richtungsvektor zur Geradenschar gehört, die selbe Gerade, die sich ja durch "verkürzung" oder "verlängerung" des Richtungsvektors nicht verändert, dann aber nicht.
Also: Wenn noch jemand bestätigen könnte, dass Man den Ansatz
c*Richtungsvektor AC= Richtungsvektor der Geradenschar
nicht so wählen kann, da man sich einen Parameter "zu viel" herholt, wäre ich dankbar.
Sláin,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi, sry, dass ich nochmal Frage, aber irgendwie will das nicht in mein Hirn:
Habe so eben nochmal darüber nachgedacht, und wenn es so wäre, dass die Gerade AC nicht zur Geradenschar gehören würde, dann würde ich damit ja auch sagen, dass die eine Grade mit dem "längeren" Richtungsvektor eine andere Gerade sei, als eine Grade, die durch den selben Punkt geht, und in die selbe Richtung zeigt, die nur einen "kürzeren" Richtungsvektor hat.
Denn die mit dem "längeren" Richtungsvektor AC sollte dann laut Lösung nicht zur Geradenschar gehören, verkürze ich den Richtungsvektor aber, so gehört diese Gerade aufmal wieder zur Geradenschar....das kann doch irgendwie nicht sein?!?
Ich hoffe ihr seht, was ich meine.
Sláin
|
|
|
| |
|
Hi, Kroni,
hab' mir die Lösung mal angeschaut und bin Deiner Meinung:
Die angegebene Lösung ist FALSCH, Deine Lösung stimmt!
Man kann jederzeit bei einer Geraden den Richtungsvektor verlängern/verkürzen oder auch den Parameter umbenennen:
Die Gerade bleibt DIESELBE!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hi, Kroni,
>
> hab' mir die Lösung mal angeschaut und bin Deiner Meinung:
> Die angegebene Lösung ist FALSCH, Deine Lösung stimmt!
>
> Man kann jederzeit bei einer Geraden den Richtungsvektor
> verlängern/verkürzen oder auch den Parameter umbenennen:
> Die Gerade bleibt DIESELBE!
>
> mfG!
> Zwerglein
Danke, schön, dass es noch einer so sieht wie ich....
Weil alles andere ist m.E. auch unsinnig.
Aber werde evlt. nochmal meinen Lehrer anrufen und ihn danach fragen.
Liebe Grüße,
Kroni
|
|
|
|
