Volumen zwischen Flächen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen eingeschlossen wird
z = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] und z = 7 + 2x − 2y
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Könnt ihr mir da helfen?
Vermutlich ein eher einfaches Problem, aber ich weiß nicht einmal, wie ich das ansetzen soll?
lg
Chris
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> bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen
> eingeschlossen wird
>
> z = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] und z = 7 + 2x − 2y
>
> Vermutlich ein eher einfaches Problem,
na ja, es geht ...
> aber ich weiß nicht
> einmal, wie ich das ansetzen soll?
>
> lg
> Chris
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Hallo Chris,
kannst du dir die beiden Flächen anschaulich vorstellen ?
Die erste ist ein nach oben (in positiver z-Richtung)
geöffnetes Rotationsparaboloïd, die zweite offensichtlich
eine Ebene, die im Punkt (0/0/7) die z-Achse schneidet
und im übrigen schief liegt.
Das eingeschlossene Volumen liegt über der Paraboloïd-
fläche und unter der Ebene. Beide Flächen schneiden
sich in einer geschlossenen Randkurve, und zwar einer
Ellipse.
Zunächst solltest du dich also etwas um diese Randkurve
und insbesondere ihre Projektion auf die x-y-Ebene
kümmern...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Danke für deine guter Erklärung!
leider kann ich mir trotzdem noch nicht so recht vorstellen, was zu tun ist! :(
Projektion auf x-y heißt ja x=y=0, oder?
ich habe hier viele Bsp mit kurzer Lösung, aber da steht dann immer nur lapidar "wie man sieht ist..." etc, ...
ich bin ja dazu über gegangen die Flächen mal zu plotten, damit ich mir wenigstens was drunter vorstellen kann ... aber leider ist das ein etwas wackeliger Behelf ;)
lg.
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> Projektion auf x-y heißt ja x=y=0, oder?
nein, hier heisst es einfach "z vergessen"
Die beiden Flächen schneiden sich entlang der
Kurve k: [mm] z=x^2+y^2=7+2x-2y
[/mm]
Die Gleichung [mm] x^2+y^2=7+2x-2y [/mm] ist die Gleichung
der Projektion k' (Grundriss) von k auf die x-y-Ebene.
Man kann sie etwas umformen und erkennt dann, dass
k' ein Kreis ist !
(das eröffnet schon die Möglichkeit einer eventuellen
Transformation auf Polarkoordinaten !)
Generell müsste die nachfolgende Integration etwa
so aussehen:
[mm] \integral_{\varphi=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{R}\quad \integral_{z=z_{Paraboloïd}}^{z_{Ebene}} [/mm] dV
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Wie kann ich das in einen Kreis umschreiben?
die Kreisgleichung lautet ja:
[mm] (x-x_0)^2 [/mm] + [mm] (y-y_0)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
fehlt mir da nicht ein Term?
lg
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 18.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Wie kann ich das in einen Kreis umschreiben?
>
>
> die Kreisgleichung lautet ja:
>
>
> [mm](x-x_0)^2[/mm] + [mm](y-y_0)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> fehlt mir da nicht ein Term?
>
> lg
> Chris
stichwort: quadratische ergänzung
[mm] (x-1)^2+(y+1)^2=9
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für euer aller Hilfe!
$ \integral_{p=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{3}\quad \integral_{z=2 r^2}^{7+2r cos(p) -2r sin(p)}} r d\varphi dr dz $
da dV ja auch in Zylinderkoordinaten...
zuerst dz, dann dr, dann d\varphi
\integral_{p=0}^{2 \pi}(21+9cos(p)-9 sin(p) -6) d\varphi
Sin und cos über 2\pi sind null, also bleibt noch
(21-6) \pi = 15 \pi
stimmt das so weit? :)
lg
Chris
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> Danke für euer aller Hilfe!
>
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> [mm]\integral_{p=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{3}\quad \integral_{z=2 r^2}^{7+2r cos(p) -2r sin(p)}} r d\varphi dr dz[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
---> entweder alles [mm] \varphi [/mm] oder alles p ...
die untere Grenze für die z-Integration ist nicht 2 [mm] r^2 [/mm] sondern [mm] r^2 [/mm] !
> da dV ja auch in Zylinderkoordinaten...
>
> zuerst dz, dann dr, dann [mm]d\varphi[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\integral_{p=0}^{2 \pi}(21+9cos(p)-9[/mm] sin(p) -6) [mm]d\varphi[/mm]
>
> Sin und cos über [mm]2\pi[/mm] sind null, also bleibt noch
>
> (21-6) [mm]\pi[/mm] = 15 [mm]\pi[/mm]
>
> stimmt das so weit? :)
nicht ganz
als Schlussergebnis habe ich [mm] \bruch{81}{2} \pi [/mm] erhalten
lg
al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Danke! Wird wohl ander falschen Grenze gelegen haben! :)
lg
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 18.06.2008 | | Autor: | abakus |
> bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen
> eingeschlossen wird
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> z = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] und z = 7 + 2x − 2y
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> Könnt ihr mir da helfen?
>
> Vermutlich ein eher einfaches Problem, aber ich weiß nicht
> einmal, wie ich das ansetzen soll?
Ein Patentrezept hae ich auch nicht. Es handelt sich aber um einen schräg angeschnittenen Rotationskörper (siehe Skizze). Den Rotationskörper kann man leicht berechnen, das abgescnittene Stück muss sicher schichtenweise mit Integralrechnung bestimmt werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
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> lg
> Chris
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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