Volumenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 29.04.2009 | | Autor: | manuel85 |
Hallo,
es geht um Mathematik, gymnasiale Oberstufe, 13. Klasse, bevorstehende Abiturprüfung, LK.
Mit dem Integrieren kann ich Flächeninhalte bestimmen, das ist klar. Kann ich damit auch Volumen berechnen?
Folgende Aufgabe hierzu, klingt simpel, sofern man es kann:
[mm] f(x)=e^{1-x}. [/mm] Die Kurve hierzu heißt K.
Bei Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Körper. Berechnen Sie sein Volumen!
Wie soll das gehen? Entweder wir haben das nicht behandelt oder es ist schon sehr lange her oder war nur sehr nebensächlich und kurz. Muss ich außer solchem Aufgabentyp noch mehr zur Volumenberechnung/Rotation wissen (fürs Abitur)? Wie könnte dieser Aufgabentyp variiert werden?
Wäre jedenfalls sehr hilfreich, wenn mir jemand kurz eine Idee dazu gibt, damit ich das berechnen könnte. Funktioniert das auch über Stammfunktionen? Oder wie sonst?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 29.04.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
> es geht um Mathematik, gymnasiale Oberstufe, 13. Klasse,
> bevorstehende Abiturprüfung, LK.
> Mit dem Integrieren kann ich Flächeninhalte bestimmen, das
> ist klar. Kann ich damit auch Volumen berechnen?
> Folgende Aufgabe hierzu, klingt simpel, sofern man es
> kann:
>
> f(x)=e^(1-x). Die Kurve hierzu heißt K.
> Bei Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Körper.
> Berechnen Sie sein Volumen!
> Wie soll das gehen? Entweder wir haben das nicht behandelt
> oder es ist schon sehr lange her oder war nur sehr
> nebensächlich und kurz. Muss ich außer solchem Aufgabentyp
> noch mehr zur Volumenberechnung/Rotation wissen (fürs
> Abitur)? Wie könnte dieser Aufgabentyp variiert werden?
> Wäre jedenfalls sehr hilfreich, wenn mir jemand kurz eine
> Idee dazu gibt, damit ich das berechnen könnte.
> Funktioniert das auch über Stammfunktionen? Oder wie
> sonst?
Hallo manuel,
herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bei deiner Aufgabe müssten allerdings noch irgendwelche Grenzen gegeben sein.
Grundsätzlich gilt:
Rotiert der Graph der Funktion f im Intervall [a;b] um die x-Achse, so gilt für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers:
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}
[/mm]
Man kann sich das wie bei der Ober- und Untersumme vorstellen. Die Rechtecke ergeben dann in der Rotation lauter Zylinderscheiben mit Radius f(x) und Höhe dx.
Gruß Glie
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 29.04.2009 | | Autor: | manuel85 |
Ok, gilt deine Formel denn für alle Funktionen? Wurzelfunktionen, Potenzfunktionen, gebrochen rationale Funktionen usw.?
Dann, kurz zur e-Funktion selbst:
[mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(e^{1-x})² dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{e^{2-2x} dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * e² * [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-2x} dx}
[/mm]
Nach welcher Regel durfte ich hier e² aus dem Integral nehmen?
Nun kommt: [mm] \pi [/mm] * e² * (-0,5)* [mm] [e^{-2x}] [/mm] <- das Eingeeckte in den Grenzen a und b
Wie kommt das zustande?
Bzw. allgemein: [mm] e^x [/mm] abgeleitet bleibt [mm] e^x
[/mm]
Wie sieht es mit Variationen aus? [mm] e^{2x} [/mm] abgeleitet ergibt?
Was ergibt [mm] (2e)^{2x} [/mm] abgeleitet?
Wie käme ich auf die Stammfunktion von [mm] (2e)^{2x}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja es gilt fuer alle Funktionen bei Rotation um die x Achse.
dass du [mm] e^2 [/mm] rausziehen kannst: jede konstante Zahl, so auch [mm] e^2 [/mm] kann man aus nem Integral rausziehen. und [mm] e^{-2-2x}=e^{-2}*e^{-2x}
[/mm]
[mm] e^{ax} [/mm] abgeleitet nach der Kettenregel, ergibt:
[mm] (e^{ax})'=e^{ax}*(ax)'=e^{ax}*a
[/mm]
deshalb ergibt
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{ax} dx} =1/a*e^{ax}
[/mm]
bei dir ist a=-2 und 1/-2=-0.5
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 29.04.2009 | | Autor: | manuel85 |
Danke erstmal an beide.
Noch ein letztes Nachgehake:
Irritiert mich nämlich etwas:
[mm] e^{-2-2x}=e^{-2}*e^{2x}
[/mm]
Sicher?
Müsste es nicht [mm] e^{-2}* e^{-2x} [/mm] ergeben (man beachte das Minus in der zweiten Klammer)?
Gruß Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 29.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast Recht, das war ein Tippfehler von mir. Tschuldigung
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:50 Do 30.04.2009 | | Autor: | manuel85 |
Kein Problem, passiert. War mir nur nicht sicher, ob vertippt oder Regel, die ich vielleicht nicht kenne.
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