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| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x}e^{-x^{2}} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \infty [/mm] um die x-Achse rotiert.
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Guten Morgen,
hätte zu obiger Aufgabe einige Fragen, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen?
Die Volumenformel für Rotation um die x-Achse lautet doch [mm] V_{x}=\pi\integral_{x_1}^{x_2}{(f(x))^{2} dx}, [/mm] richtig?
Welche Grenzen setze ich jetzt ein, von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und dann ist da noch das Problem mit dem [mm] e^{-x^{2}} [/mm] und der Intergrierbarkeit.
Was passiert, wenn ich laut Formel die Funktion quadriere, im ersten Teil fällt die Wurzel raus, aber das [mm] e^{-x^{2}} [/mm] wird nicht positiv, sondern [mm] (e^{-x^{2}})^{2} [/mm] = [mm] e^{-x^{4}}.
[/mm]
Mir fehlt hier der Ansatz.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Di 30.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn
> die Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x}e^{-x^{2}}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \infty[/mm]
> um die x-Achse rotiert.
>
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> Guten Morgen,
>
> hätte zu obiger Aufgabe einige Fragen, vielleicht kann mir
> da jemand weiterhelfen?
>
> Die Volumenformel für Rotation um die x-Achse lautet doch
> [mm]V_{x}=\pi\integral_{x_1}^{x_2}{(f(x))^{2} dx},[/mm] richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Welche Grenzen setze ich jetzt ein, von 0 bis [mm]2\pi[/mm] und
Hallo,
nein, laut Aufgabenstellung ist es ein uneigentliches Integral von 0 bis unendlich.
> dann ist da noch das Problem mit dem [mm]e^{-x^{2}}[/mm] und der
> Intergrierbarkeit.
>
> Was passiert, wenn ich laut Formel die Funktion quadriere,
> im ersten Teil fällt die Wurzel raus, aber das [mm]e^{-x^{2}}[/mm]
> wird nicht positiv, sondern [mm](e^{-x^{2}})^{2}[/mm] = [mm]e^{-x^{4}}.[/mm]
>
> Mir fehlt hier der Ansatz.
Eventuell partiell ?
Gruß Abakus
>
> MfG
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Guten Morgen abakus,
hab mir die Funktion mal zeichnen lassen und sie verläuft nur von 0 bis 1,5 auf der x-Achse, ab 1,5 liegt sie auf der x-Achse, d.h. mein Integrationsbereich läuft von 0 bis 1,5. Schwierigkeiten bereitet mir das Integral aufzulösen.
MfG
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> hab mir die Funktion mal zeichnen lassen
Hallo,
prinzipiell keine schlechte Idee -
> und sie verläuft
> nur von 0 bis 1,5 auf der x-Achse, ab 1,5 liegt sie auf der
> x-Achse,
- doch paßt hier ((in grober Näherung) das bekannte Zitat: "Man sieht nur mit dem Herzen gut. Das Wesentliche ist für die Augen unsichtbar!"
Ob's jetzt hier das Herz ist, welches man bemühen muß, sein dahingestellt; ich denke, man bemüht lieber das, was weiter oben ist...
Begreifst Du, daß es Kokolores ist, was Du schreibst?
Wie soll die Funktion denn ab 1.5 auf der x-Achse verlaufen?
Dazu müßte sie ab x=1.5 konstant =0 sein, und das ist doch wirklich Quatsch mit Soße, oder?
Zu integrieren ist wie in der Aufgabnstellung gefordert und auch von abakus gesagt, von 0 bis [mm] \infty.
[/mm]
> > > Was passiert, wenn ich laut Formel die Funktion quadriere,
> > > im ersten Teil fällt die Wurzel raus, aber das $ [mm] e^{-x^{2}} [/mm] $
> > > wird nicht positiv,
??? [mm] e^{-x^2} [/mm] ist positiv.
> > > sondern $ [mm] (e^{-x^{2}})^{2} [/mm] $ = $ [mm] e^{-x^{4}}. [/mm] $
Oh, oh, oh...
Wie potenziert man Potenzen? Indem man die Exponenten - na,was?.
Und wenn Du das herausgefunden hast, ist es leicht, eine Stammfunktion zu finden, denn der faktor x ist "fast" die innere Ableitung vom "e hoch..."
Du mußt nur noch mit einem passenden Faktor korrigieren.
Ansonsten: eine kleine Substitution.
Gruß v. Angela
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Hallo,
gibt es eigentlich einen Grund dafür, daß Du die Frage, auf die Du gestern von Tyskie gleich eine ausführliche Antwort bekommen hattest, heute morgen nochmal gepostet hast?
Ich bin etwas gereizt deswegen, und ich frage mich, wofür ich die Zeit aufgewendet habe, wenn doch vor Mitternacht schon alles geklärt war...
Wenn ich Tyskie wäre, dann wäre ich übrigens auch beleidigt: glaubst Du ihm nicht oder hast Du nicht durchgelesen, was er Dir gesagt hat?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Di 30.03.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo,
entschuldigt bitte allesamt, ich wollte keinen ärgern oder gar beleidigen. Ich war wohl gestern Abend/Nacht ziemlich müde und hatte nicht erkannt, dass Tyskies Antwort sich auf meine 2te Frage bezog, ging fest davon aus, das es immernoch um meine erste Frage ging.
Tut mir auch leid, weil ich mich so dilettantisch anstelle. Meine Erklärung kam durch die Grafik meines Plots und da sieht die Kurve aus wie beschrieben, allerdings kann es sich auch um einen Eingabefehler handeln. Exponenten werden addiert, alles klar.
Sorry nochmal an alle Beteiligten für die Missverständnisse.
LG
Daniel 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Di 30.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> und hatte nicht erkannt, dass Tyskies Antwort sich
> auf meine 2te Frage bezog, ging fest davon aus, das es
> immernoch um meine erste Frage ging.
Daher sollte man neue Fragen / neue Aufgaben auch in einem neuen eigenständigen Thread stellen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Di 30.03.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo loddar,
werd es mir merken.
MfG
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Hallo,
Entschuldigung angenommen!
> Meine Erklärung kam durch die Grafik meines Plots und da
> sieht die Kurve aus wie beschrieben, allerdings kann es
> sich auch um einen Eingabefehler handeln
Nein, das ist kein Eingabefehler. Meine sieht auch so aus - aber manches ist nicht so, wie es auf den ersten Blick scheint.
Die x-Achse ist ganz sicher eine Asymptote, aber =0 kann die Funktion doch überhaupt nicht werden.
Gruß v. Angela
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Schön das du bzw. ihr mir verzeiht, war wie bereits erwähnt keine Absicht.
Du hast natürlich recht, ich habe mich nicht korrekt ausgedrückt, der Graph nähert sich asymptotisch der x-Achse an, wäre vielleicht besser gewesen.
Ich habe trotz allem noch Probleme beim lösen des Integrals. Zum Thema Potenzgesetze: [mm] (a^{m})^{n} [/mm] = [mm] a^{m*n}, [/mm] oder? Dann wäre das in meinem Fall also [mm] (e^{-x2})^{2} [/mm] = [mm] e^{-2x^{2}}.
[/mm]
-> [mm] \integral_{0}^{\infty}{xe^{-2x^{2}} dx} [/mm] ???
Für die obere Grenze [mm] \infty [/mm] müsste ich ja dann den Grenzwert bilden, richtig?
MfG
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Di 30.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{xe^{-2x^{2}} dx}= \limes_{t\rightarrow\infty}\integral_{0}^{t}{xe^{-2x^{2}} dx}$
[/mm]
Berechne also zuerst [mm] \integral_{0}^{t}{xe^{-2x^{2}} dx}
[/mm]
FRED
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Hallo,
zuerstmal vielen Dank für alle Beteiligten/Helfenden. Hab dank eurer Hilfe nun endlich die Lösung gefunden, war da einige Zeit komplett auf dem Holzweg.
Lösung: [mm] \integral_{0}^{t}{xe^{-2x^{2}} dx} [/mm] -> Substitution [mm] z=-2x^{2} [/mm] -> [mm] \bruch{dz}{dx}=-4x [/mm] -> [mm] dx=-\bruch{1}{4x}dz [/mm] -> [mm] -\bruch{1}{4}\integral_{0}^{t}e^{z}dz [/mm] -> [mm] [-\bruch{e^{-2x^{2}}}{4}]_0^t
[/mm]
Weiter gehts mir der ursprünglichen Volumenintegralformel und der Grenzwertuntersuchung:
[mm] \pi\limes_{t\rightarrow\infty}[-\bruch{e^{-2x^{2}}}{4}]_0^t [/mm] -> [mm] \pi(-\bruch{e^{-\infty}}{4}+\bruch{e^{0}}{4}) [/mm] -> [mm] -\bruch{e^{-\infty}}{4} [/mm] -> 0, [mm] \bruch{e^{0}}{4} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] d.h. das Ergebnis ist [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Vielen Dank.
MfG
Daniel
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Hallo,
> Hallo,
>
> zuerstmal vielen Dank für alle Beteiligten/Helfenden. Hab
> dank eurer Hilfe nun endlich die Lösung gefunden, war da
> einige Zeit komplett auf dem Holzweg.
>
> Lösung: [mm]\integral_{0}^{t}{xe^{-2x^{2}} dx}[/mm] -> Substitution
> [mm]z=-2x^{2}[/mm] -> [mm]\bruch{dz}{dx}=-4x[/mm] -> [mm]dx=-\bruch{1}{4x}dz[/mm] ->
> [mm]-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{t}e^{z}dz[/mm] ->
> [mm][-\bruch{e^{-2x^{2}}}{4}]_0^t[/mm]
>
> Weiter gehts mir der ursprünglichen Volumenintegralformel
> und der Grenzwertuntersuchung:
>
> [mm]\pi\limes_{t\rightarrow\infty}[-\bruch{e^{-2x^{2}}}{4}]_0^t[/mm]
> -> [mm]\pi(-\bruch{e^{-\infty}}{4}+\bruch{e^{0}}{4})[/mm] ->
> [mm]-\bruch{e^{-\infty}}{4}[/mm] -> 0, [mm]\bruch{e^{0}}{4}[/mm] ->
> [mm]\bruch{1}{4},[/mm] d.h. das Ergebnis ist [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Vielen Dank.
>
> MfG
>
> Daniel
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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