Volumenberechnung einses Torus < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bin der Stephan aus NrW und Schüler der 12 Klasse. Ich bin hier zufällig auf dieses Forum gelangt...ist n echt cooles board...werd mich hier noch weiter umschauen.
Naja ich arbeite grad an meiner Facharbeit, die als Thema hat " Unterschiedliche Wege zur Berechnung eines Torusvolumens".
Ich habe 2 Verfahren: - Keplersche Fassregel
- Guldin'sche Regel
aber bei der keplerschen Regel komm ich irgendwie nich weiter, weil ich mir das irgendwie nich so vorstellen kann wie ich das bei einem Torus berechnen könnte. Geht das überhaupt^^?Oder gibt es andere Lösungsansetze, Möglichkeiten? Weil hier meinem Denken Grenzen gesetzt sind bitte ich um hilfe.
Würd mich freuen wenn jemand dazu einen Vorschlag hätte.
Danke schonmal im Voraus.
MfG
Stephan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ok...danke ich schau mal durch...viell hilfts mir ja weiter =)
danke
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Hi, Stephan
Kannst es natürlich auch exakt berechnen, nämlich als Differenz der Volumina zweier Drehkörper:
Zunächst lässt Du ein "oberen" Halbkreis z.B. um die x-Achse rotieren und berechnest das Rotationsvolumen. Dann rotiert der zugehörige "untere" Halbkreis; dessen Rotationsvolumen ziehst Du vom ersten Ergebnis ab: Voila!
Diese Antwort ist OK! Weiteres siehe unten!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mo 28.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo Zwerglein,
> Kannst es natürlich auch exakt berechnen, nämlich als
> Differenz der Volumina zweier Drehkörper:
> Zunächst lässt Du ein "oberen" Halbkreis z.B. um die
> x-Achse rotieren und berechnest das Rotationsvolumen. Dann
> rotiert der zugehörige "untere" Halbkreis; dessen
> Rotationsvolumen ziehst Du vom ersten Ergebnis ab: Voila!
dabei würde m.E. eine Hohlkugel entstehen...
Grüße,
chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Rainman,
vielleicht muss ichs genauer erklären:
Der Halbreis (Radius r) liegt um mehr als einen Radius r oberhalb der x-Achse. Jetzt lass' ich ihn um die x-Achse rotieren.
Ich nehm' mal als Beispiel folgende Funktionsgleichung:
[mm] y=3+\wurzel{4-x^{2}}
[/mm]
Es entsteht eine "Scheibe" sozusagen ein "Scheibenrad" mit halbrunder "Außenkante".
Um den Torus zu kriegen, muss ich innen soviel weglassen, dass nur noch der äußere Ring übrigbleibt. Ich lasse also den Halbkreis unter dem oben erwähnten rotieren und rechne dessen Volumen aus. (Der Rotationskörper, der hierbei entsteht, ist ein "Scheibenrad mit umlaufender Hohlkehle"; man könnte ihn auf einer Schiene verwenden! Leider kann ichs nicht zeichnen).
Funktionsgleichung analog oben: [mm] y=3-\wurzel{4-x^{2}}.
[/mm]
Als Ganzes betrachtet habe ich sozusagen einen Kreis um die x-Achse rotieren lassen. Vielleicht hast Du verstanden, der 2. Halbkreis läge auch "nach oben": Nein, es soll ein "unten liegender (oder soll ich sagen: ein nach oben geöffneter?) Halbkreis sein!
Also: Mach' die Markierung für die falsche Antwort bitte wieder weg! Du bist im Unrecht!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Di 01.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Rainman,
alles klar!
Zu Deiner Frage bezüglich des ganzen Kreises:
Beim ganzen Kreis bin ich mir eben nicht sicher, ob das geht, weil:
Das ist ja keine Funktion! Wie mach' ich das mit dem Drehkörper?!
Vielleicht kann da jemand weiterhelfen?
mfG!
Zwerglein
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Also erstmal danke für eure Hilfe.
Nun hab ich aber ein neues Problem^^
Wenn ich nun das Kreisintegral [mm] \integral_{-r}^{r} \wurzel{r²-x²} [/mm] dx berechnegibt es hier im Buch den allgemeinen Rechenschritt, den ich jedoch leider nicht nachvollziehen kann.
Als nächster Schritt wird mir hier der Term angegeben:
[mm] \integral_{\pi}^{0} \wurzel{r^²-r^²cos²(z)r(-sin(z))dz}
[/mm]
Als Endergebnis kommt dann allgemein [mm] \bruch{1}{2}\pi [/mm] r² raus.
Es wäre nett wenn mir einer den Zwischenschritt erklären würde weil ich nich schlau daraus werden und es nich nachvollziehen kann^^.
danke schonmal im Vorraus
MfG Da_RockWiLdeR
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 23.03.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo Da_RockWiLdeR,
bei Kreisintegralen musst du immer x=r*cos(z) oder x=r*sin(z) substituieren.
> Als nächster Schritt wird mir hier der Term angegeben:
> [mm]\integral_{\pi}^{0} \wurzel{r^²-r^²cos²(z)r(-sin(z))dz}
[/mm]
Hier wurde mit x=r*cos(z) substituiert (das r(-sin(z))dz muss natürlich außerhalb der Wurzel stehen).
Ich habe so ein Kreisintegral schonmal in einem anderen Thread vorgerechnet: <clickme>
Grüße,
Chris
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Hallo rAiNm4n !
Erstmal herzlichen Dank für den Tipp.
Ich werd jetzt mal versuchen die Rechnung nachzuvollziehen.
Ich hab aber nochmal ne Frage.
Ich muss ja die facharbeit auf PC schreiben und suche noch nach einem geeignetem proggi womit ich Integrale, Zeichnungen vom Torus etc. darstellen kann.Hab schon was von Math CAD gehört aber ich find da keine freeware. Wüsstest du ein geeignetes proggi?
Danke für die Hilfe
MfG Da_RockWiLdeR
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bei meiner facharbeit mit dem torus bin ich nun auf ein anderes problem gestoßen:
wieso kann man von einer wurzelfunktion keine stammfunktion finden,
spez. auf meinen fall bezogen:
wieso muss ich [mm] \integral_{-r}^{r} \wurzel{r²-x²} [/mm] dx
durch substitution ..... lösen
ich such nach einer matheatischen(keine rechnung,sondern theorie) begründung...da integralrechnung bis jetzt noch nicht unterrichtstoff war
danke schon mal
Gruß Da_RockWiLdeR
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Ich habe ein Problem und zwar möchte ich das Volumen eines Torus durch numerische Integration über einzelnen Kegelstümpfe berechnen, also
V Torus ungefähr [mm] \summe_{k=0}^{N-1} [/mm] V Kegelstümpfe
dafür bräuchte ich einen rechenansatz.
danke
MfG Da_RockWiLdeR
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mo 28.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Meinst du wirklich Kegelstümpfe? Wie sollen die einen Torus ausschöpfen? Woher kommt diese Fragestellung? Vielleicht kann die jemand helfen, wenn du etwas genauer wirst:
Gruss leduart
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Hallo
Ich hab mir folgendes dabei gedacht: Wie bei der Keplerschen Fassregel wird für die Volumenberechnung eines Fasses über zwei Trapeze summiert, die nach Rotation um die x-Achse das Volumen zweier Kegelstümpfe bestimmen.
Beim Torus sieht das natürlich anders aus. Hier würde die Rotation eines Kreises um die x-Achse das Torusvolumen festlegen (2.Guldinsche Regel). Ich möchte jdedoch zusätzlich das Torusvolumen durch ein Näherungsverfahren bestimmen, also über Summation einzelner Teilvolumnia. Im besten Fall nimmt man "Kuchenstücke", die jedoch mathematisch meines Wissens nicht definiert sind, also bin ich auf die Kegelstümpfe gekommen.
Optimal ist das sicherlich nich aber mir fiel nichts besseres ein.
Gruß Da_RockWiLdeR
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Hallo ich stell die frage hiermit nocheinmal da ich noch zu keinem Entschluss gekommen bin...
Ich hab mir folgendes dabei gedacht: Wie bei der Keplerschen Fassregel wird für die Volumenberechnung eines Fasses über zwei Trapeze summiert, die nach Rotation um die x-Achse das Volumen zweier Kegelstümpfe bestimmen.
Beim Torus sieht das natürlich anders aus. Hier würde die Rotation eines Kreises um die x-Achse das Torusvolumen festlegen (2.Guldinsche Regel). Ich möchte jdedoch zusätzlich das Torusvolumen durch ein Näherungsverfahren bestimmen, also über Summation einzelner Teilvolumnia. Im besten Fall nimmt man "Kuchenstücke", die jedoch mathematisch meines Wissens nicht definiert sind, also bin ich auf die Kegelstümpfe gekommen.
Optimal ist das sicherlich nich aber mir fiel nichts besseres ein.
Gruß Da_RockWiLdeR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 30.03.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo ich stell die frage hiermit nocheinmal da ich noch zu
> keinem Entschluss gekommen bin...
>
> Ich hab mir folgendes dabei gedacht: Wie bei der
> Keplerschen Fassregel wird für die Volumenberechnung eines
> Fasses über zwei Trapeze summiert, die nach Rotation um die
> x-Achse das Volumen zweier Kegelstümpfe bestimmen.
> Beim Torus sieht das natürlich anders aus. Hier würde die
> Rotation eines Kreises um die x-Achse das Torusvolumen
> festlegen (2.Guldinsche Regel).
Keine Ahnung was die ist
> Ich möchte jdedoch
> zusätzlich das Torusvolumen durch ein Näherungsverfahren
> bestimmen, also über Summation einzelner Teilvolumnia. Im
> besten Fall nimmt man "Kuchenstücke", die jedoch
> mathematisch meines Wissens nicht definiert sind, also bin
> ich auf die Kegelstümpfe gekommen.
Ich kann mir keinerlei Kegelstümpfe vorstellen,die man in einen Torus legen kann,sodass sie ihn beinahe ausfüllen.
Aber ein anderes Näherungsverfahren, das nichts mit der Rotation des Kreises zu tun hat wäre den Torus in lauter Kreisringe der kleinen Höhe dh zu zerschneiden und die aufzuaddieren. Ich hoff du verstehst was ich meine. Wenn man den Torus so auf den Tisch legt, dass er nicht rollen kann und dann parallel zum Tisch in Scheiben schneiden!
Wenn dir das nicht einleuchtet schreib noch mal aber mit Kegelstümpfen geht es sicher nicht!
Gruß leduart
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Danke erstmal für deine antwort....aber ich glaub ich muss das alles noch einmal überdenken...
Grüße Da_RockWiLdeR
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