Volumenintegrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Eine Kugel vom Radius R wird zentrisch durchbohrt. Der Radius des Bohrlochs beträgt r (mit
0 < r < R). Berechnen Sie das Volumen der durchbohrten Kugel. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe, bin ich mir nicht sicher, ob ich sie richtig verstehe. Ich habe also eine Kugel mit einem Radius und bohre dort ein Loch rein. Soweit ist das klar. Berechnen würde ich es, indem ich das Volumen der Kugel berechne und dann das Volumen des Bohrlochs (Volumen des Zylinders) abziehe.
Mein Problem liegt eher darin, dass ich die Integrationsgrenzen des Bohrlochs nicht so recht verstehe. Die erste Grenze wird sicher die 0 sein, aber die zweite? R kann es ja rein vom logischen nicht sein, weil sonst das Volumen verschwinden würde.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Mfg
Robse
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> Eine Kugel vom Radius R wird zentrisch durchbohrt. Der
> Radius des Bohrlochs beträgt r (mit
> 0 < r < R). Berechnen Sie das Volumen der durchbohrten
> Kugel.
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe, bin ich mir nicht sicher, ob ich sie
> richtig verstehe. Ich habe also eine Kugel mit einem Radius
> und bohre dort ein Loch rein. Soweit ist das klar.
> Berechnen würde ich es, indem ich das Volumen der Kugel
> berechne und dann das Volumen des Bohrlochs (Volumen des
> Zylinders) abziehe.
Vorsicht: Das Loch (bzw. der Teil der Kugel, der entfernt
werden muss) ist nicht exakt ein Zylinder, sondern besteht
aus einem Zylinder, dessen Länge kürzer als der Kugel-
durchmesser ist, und zwei Kugelabschnitten an den
Enden dieses Zylinders.
> Mein Problem liegt eher darin, dass ich die
> Integrationsgrenzen des Bohrlochs nicht so recht verstehe.
> Die erste Grenze wird sicher die 0 sein, aber die zweite? R
> kann es ja rein vom logischen nicht sein, weil sonst das
> Volumen verschwinden würde.
Ich verstehe nicht ganz, auf welche Weise du das Integral
aufstellen willst (Einfachintegral oder Integral mit Zylinder-
koordinaten).
Zum Aufstellen der richtigen Grenzen sollte eine
übersichtliche Zeichnung hilfreich sein, aus der du
insbesondere etwa die Höhe der beiden Kugelseg-
mente und die Länge des Zylinders bestimmen kannst.
Alternativ (bzw. zur Kontrolle des Resultates aus der
Integration) kannst du die Aufgabe mittels der elementar-
geometrischen Formeln für Kugel, Zylinder und Kugel-
segment lösen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Robse |
Danke für deine Antwort,
ich musste die Aufgabe leider ein paar Tgae zurückschieben, aber jetzt bin ich wieder dran.
Also ich habe genauer hingeschaut (danke für den Tipp^^). Und folgendes ist abei herausgekommen:
Ich habe das Volumenintegral der Kugel (mit dem Radius R) aufgestellt: [mm] V_{Kugel} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} \pi R^3.
[/mm]
Danach das Volumenintegral des Zylinders (mit dem Radius r): [mm] V_{Zylinder} [/mm] = [mm] \pi r^2 [/mm] h
Leider weiß ich nicht, ob bzw wie ich hier Zeichnungen erstellen kann, also versuche ich er mit Worten zu malen^^. h beschreibt bei mir die Höhe des gesamten Zylinders. Aus dem Satz des Pythagoras folgt: [mm] (\bruch{h}{2})^2 [/mm] = [mm] R^2-r^2, [/mm] also h = [mm] 2\wurzel{R^2-r^2}.
[/mm]
Als nächstes muss ich das Volumenintegral des verbleibenden Kreissegments berechnen. Leider habe ich da so meine Probleme mit den Integrationsgrenzen.
0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] ist klar
Die obere Grenze von [mm] \nu [/mm] leite ich über den Sinus her: [mm] sin(\nu) [/mm] = [mm] \bruch{r}{R}
[/mm]
[mm] 0\le \nu \le arcsin(\bruch{r}{R}) [/mm] (Hier bin ich mir schon nicht mehr so sicher)
Jetzt kommt der Punkt an dem ich verzweifle:
Die obere Integrationsgrenze für r = R, aber wie komme ich auf die untere?
mfg Robse
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> Danke für deine Antwort,
>
> ich musste die Aufgabe leider ein paar Tgae
> zurückschieben, aber jetzt bin ich wieder dran.
> Also ich habe genauer hingeschaut (danke für den Tipp^^).
> Und folgendes ist abei herausgekommen:
>
> Ich habe das Volumenintegral der Kugel (mit dem Radius R)
> aufgestellt: [mm]V_{Kugel}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3} \pi R^3.[/mm]
> Danach das
> Volumenintegral des Zylinders (mit dem Radius r):
> [mm]V_{Zylinder}[/mm] = [mm]\pi r^2[/mm] h
>
> Leider weiß ich nicht, ob bzw wie ich hier Zeichnungen
> erstellen kann, also versuche ich er mit Worten zu malen^^.
> h beschreibt bei mir die Höhe des gesamten Zylinders. Aus
> dem Satz des Pythagoras folgt: [mm](\bruch{h}{2})^2[/mm] = [mm]R^2-r^2,[/mm]
> also h = [mm]2\wurzel{R^2-r^2}.[/mm]
>
> Als nächstes muss ich das Volumenintegral des
> verbleibenden Kreissegments berechnen. Leider habe ich da
> so meine Probleme mit den Integrationsgrenzen.
> 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm] ist klar
> Die obere Grenze von [mm]\nu[/mm] leite ich über den Sinus her:
> [mm]sin(\nu)[/mm] = [mm]\bruch{r}{R}[/mm]
> [mm]0\le \nu \le arcsin(\bruch{r}{R})[/mm] (Hier bin ich mir schon
> nicht mehr so sicher)
> Jetzt kommt der Punkt an dem ich verzweifle:
> Die obere Integrationsgrenze für r = R, aber wie komme
> ich auf die untere?
>
> mfg Robse
Hallo Robse,
ich sehe nicht genau, was für ein Koordinatensystem du
für die Integration verwenden willst.
Kugelkoordinaten wären z.B. nicht so praktisch.
Du könntest ohne Winkel auskommen, wenn du für das
Volumenintegral des Rotationskörpers ein Einfachintegral
aufstellst (wie wahrscheinlich von der Schule her bekannt),
etwa mit der Integrationsvariablen x, wenn die
x-Achse die Drehachse des Zylinders ist. Die Integrations-
variable x sollte dann z.B. von h/2 bis R laufen.
Wenn du aber schon für Kugel- und Zylindervolumen zu
den elementargeometrischen Formeln greifst, so könntest
du das natürlich auch für die Kugelsegmente tun.
Der betreffende ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel enthält allerdings
nebst der richtigen Volumenformel auch einen ziemlich
schlimmen Fehler, weil da das Kugelsegment fälschli-
cherweise als "Kugelkalotte" bezeichnet wird ...
(die Kalotte ist nämlich nur der gekrümmte Teil der
Oberfläche des (Voll-) Kugelsegments) .
LG Al-Chw.
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