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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des folgenden Körpers:
K:={x,y,z) Element R³: x²+y²<=9, 0<=z<=x²+y²} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde gerne die Integrationsgrenzen für x und y erfahren. Die für z ist ja wohl 0 bzw. x²+y².
Wär schön, wenn mir jemand schnell helfen könnte.
Wutzi
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Hallo!
x und y beschreiben ja einen Kreis mit Radius 3.
Demnach kannst du sagen, daß -3<x<+3 gilt, und dir aus der gegebenen Kreisgleichung eben untere und obere Grenze für y - abhängig von x - bestimmen.
Die Schwierigkeit liegt nun darin, die auftretenden Wurzelterme zu integrieren. Viel einfacher wäre es, wenn zu zu Zylinderkoordinaten übergehst, also
$x= [mm] r\cos \phi$
[/mm]
$y= [mm] r\sin \phi$
[/mm]
Die Grenzen sind für den Winkel nun ein Vollkreis, also 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] und r von 0 bis 3.
Wenn du das einsetzt, wird das Integral viel einfacher. Allerdings mußt du den Integranden mit einem zusätzlichen r versehen, aus $dxdydz$ wird nun [mm] $r*drd\phi [/mm] dz$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Moin,
ja das hört sich gut an. So mach ichs wohl, vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Moin,
ich schon wieder,
eine Frage noch: wie integrier ich das z jetzt? Nur x und y ist ja einfach, aber wie muss ich das z behandeln? Kannst du vllt mal die Integration ausschreiben?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
das Integral sähe denke ich so aus:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{3}{r^2*r dr} d\phi}[/mm]
Wobei hier [mm] r^2=x^2+y^2. [/mm] Das innere Integral sammelt quasi die Höhenelemente auf von -3 bis 3 (über den Kreis). Am Punkt x,y ist es [mm] r^2 [/mm] hoch. Das äußere Integral beschreibt schließlich den Kreis als Fläche, [mm] 2\pi [/mm] als obere Grenze für den gesamten Kreis. Das zusätzlich r im Integral kommt durch den Übergang auf Polarkoordinaten, da sich hier ein Flächenstück durch [mm] dA=dr\cdot{}rd\phi [/mm] $ berechnet.
Nachtrag: Die untere Grenze des inneren Integrals ist 0, da z>=0.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Dann kann ich aber doch gar kein phi mehr einsetzen, weil es keins mehr gibt, ich muss doch mit rcos(phi)=x und rsin(phi)=y ersetzen, oder nicht? Kann nochmal jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Dann kann ich aber doch gar kein phi mehr einsetzen, weil
> es keins mehr gibt, ich muss doch mit rcos(phi)=x und
> rsin(phi)=y ersetzen, oder nicht?
Nein, du hast doch dein Koordinatensystem transformiert. Nach der Integration hast du eine Zahl, da gibt's nicht mehr einzusetzen.
Im Integral
[mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^3 dr\, d\phi [/mm]
hängt der Integrand nicht von [mm]\phi[/mm] ab, also ist [mm]\integral_0^{2\pi}\,d\phi = \phi \Bigr|_0^{2\pi} = 2\pi[/mm]. Dann ist dein Volumen
[mm] V= 2\pi \integral_0^3 r^3 dr[/mm]
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 So 15.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
[mm]z[/mm] läuft doch von 0 bis [mm]x^2+y^2[/mm], also sind die Grenzen der Integration über z gerade 0 und [mm]x^2+y^2[/mm]. In Zylinderkoordinaten ist [mm]x^2+y^2 = r^2[/mm]. Dann sieht das Volumenintegral so aus:
[mm]\integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \integral_0^{r^2} r dz\, dr\, d\phi = \integral_0^{2\pi} \integral_0^3 \left(z\Bigr|\limits_0^{r^2}\right) r dr\, d\phi = \integral_0^{2\pi} \integral_0^3 r^3 dr\, d\phi [/mm].
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 15.07.2007 | | Autor: | Wutzi |
Jo, vielen Dank, jetzt hab ichs gerafft!
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