Volumenintegration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Do 05.03.2009 | | Autor: | mab |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Masse des Körpers, der von den Flächen z = 0, [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 und x - y - z = 0 mit z [mm] \ge [/mm] 0 eingegrenzt wird. Die Dichte lautet rho(x, y, z) = [mm] 3(x^2 [/mm] + [mm] y^2)z [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Leider habe ich Schwierigkeiten, an die Integrationsgrenzen für das Dreifachintegral zu kommen. Aus [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 ergibt sich für y = [mm] \wurzel{4-x^2}, [/mm] was minimal für x = 2 und maximal für x = 0 wird. Kann ich daraus schon meine Integrationsgrenzen für y von 0 und 2 wählen? Wie verfahre ich weiterhin für die Grenzen für x und z?
Um mein Problem zu verdeutlichen: Geht es um Aufgaben wie "berechnen Sie das Volumen einer Achtelkugel" o.ä. habe ich keine Schwierigkeiten, mir das ganze vorzustellen und dementsprechend die Integrale anzusetzen... aber sobald diese gestellten Bedingungen ins Spiel kommen habe ich zur Zeit noch keine systematische Herangehensweise. Gibt es denn eine, die nicht auf Skizzen und Vorstellung des Problems beruht, sondern rein schematisch funktioniert?
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Masse des Körpers, der von den Flächen z
> = 0, [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4 und x - y - z = 0 mit z [mm]\ge[/mm] 0
> eingegrenzt wird. Die Dichte lautet rho(x, y, z) = [mm]3(x^2[/mm] +
> [mm]y^2)z[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Leider habe ich Schwierigkeiten, an die Integrationsgrenzen
> für das Dreifachintegral zu kommen. Aus [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4
> ergibt sich für y = [mm]\wurzel{4-x^2},[/mm] was minimal für x = 2
> und maximal für x = 0 wird. Kann ich daraus schon meine
> Integrationsgrenzen für y von 0 und 2 wählen? Wie verfahre
> ich weiterhin für die Grenzen für x und z?
>
> Um mein Problem zu verdeutlichen: Geht es um Aufgaben wie
> "berechnen Sie das Volumen einer Achtelkugel" o.ä. habe ich
> keine Schwierigkeiten, mir das ganze vorzustellen und
> dementsprechend die Integrale anzusetzen... aber sobald
> diese gestellten Bedingungen ins Spiel kommen habe ich zur
> Zeit noch keine systematische Herangehensweise. Gibt es
> denn eine, die nicht auf Skizzen und Vorstellung des
> Problems beruht, sondern rein schematisch funktioniert?
Um die in dieser Aufgabe steckende Geometrie in eine
Berechnung umzusetzen, kommt man wohl nicht
darum herum, sich ein Stück weit mit Skizzen und
räumlicher Vorstellung zu behelfen. Ich halte dies nicht
für einen Nachteil, sondern um einen Vorzug solcher
Aufgaben. Man weiss nur, was man wirklich macht,
wenn man es sich auch anschaulich klar macht.
"Schematische Lösungen" auswendig zu lernen ist
etwas für einfach gestrickte Geister ...
Der vorliegende Körper ist begrenzt durch eine Zylin-
derfläche und zwei Ebenen. Zeichne dir diese Situation
auf!
Weil auch in der Dichte [mm] x^2+y^2 [/mm] vorkommt, würde
ich empfehlen, mit Zylinderkoordinaten zu rechnen.
Das Dreifachintegral kommt dann etwa so daher:
[mm] $\integral_{\varphi=-\bruch{...*\pi}{...}}^{\bruch{\pi}{...}}\ [/mm] \ [mm] \integral_{r=0}^{r_{max}}\ [/mm] \ [mm] \integral_{z=0}^{z(r,\varphi)}......\,dz\,dr\,d\varphi$ [/mm]
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
|
|
|
| |
|
Guten Morgen mab,
ich habe gerade festgestellt, dass wir dieselbe Aufgabe
vor 264 Tagen schon mal hatten: Link
Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 05.03.2009 | | Autor: | mab |
Danke für den Link, damit bin ich schon etwas weiter.
Jetzt habe ich nach Umwandlung in Zylinderkoordinaten aus der Bedingung z [mm] \ge [/mm] 0 und x - y - z = rcos(phi) - rsin(phi) - z [mm] \gdw [/mm] z = r(cos(phi)-sin(phi)) den Bereich für z mit 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] r(cos(phi)-sin(phi)) heraus. Weiterhin ergibt sich durch [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2.
Beim nächsten Schritt, und der wurde mir leider aus dem anderen Thread nicht ersichtlich, haperts aber noch:
(aus der Aufgabenstellung)
z = 0 = r(cos(phi)-sin(phi)) [mm] \Rightarrow [/mm] entweder r = 0 oder cos(phi) = sin(phi). Mit letzterer Bedingung komme ich auf phi = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] oder phi = [mm] -\bruch{3\pi}{4}, [/mm] was im anderen Thread auch die Integrationsgrenzen waren. Woher weiß ich nun aber, dass
1) z unbedingt = 0 sein muss - bei der Integration werden doch auch andere z-Werte außer 0 durchlaufen;
2) r [mm] \not= [/mm] 0 ist (r = 0 ist doch im Integrationsbereich enthalten);
3) ich für phi von [mm] -\bruch{3\pi}{4} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] integrieren muss, nicht umgekehrt und warum liegt der Bereich dazwischen, wo ja eigentlich die Bedingung nur auf den Rändern erfüllt ist?
Mögen vielleicht etwas blöde Fragen sein, aber genau an denen hänge ich...
|
|
|
| |
|
> Danke für den Link, damit bin ich schon etwas weiter.
>
> Jetzt habe ich nach Umwandlung in Zylinderkoordinaten aus
> der Bedingung z [mm]\ge[/mm] 0 und x - y - z = rcos(phi) - rsin(phi)
> - z [mm]\gdw[/mm] z = r(cos(phi)-sin(phi)) den Bereich für z mit 0
> [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] r(cos(phi)-sin(phi)) heraus. Weiterhin ergibt
> sich durch [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]r^2[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2.
>
> Beim nächsten Schritt, und der wurde mir leider aus dem
> anderen Thread nicht ersichtlich, haperts aber noch:
>
> (aus der Aufgabenstellung)
> z = 0 = r(cos(phi)-sin(phi)) [mm]\Rightarrow[/mm] entweder r = 0
> oder cos(phi) = sin(phi). Mit letzterer Bedingung komme ich
> auf phi = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] oder phi = [mm]-\bruch{3\pi}{4},[/mm] was
> im anderen Thread auch die Integrationsgrenzen waren. Woher
> weiß ich nun aber, dass
>
> 1) z unbedingt = 0 sein muss ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dies hat doch auch niemand behauptet - oder ?
> - bei der Integration werden
> doch auch andere z-Werte außer 0 durchlaufen;
> 2) r [mm]\not=[/mm] 0 ist (r = 0 ist doch im Integrationsbereich
> enthalten);
Für jedes in Frage kommende [mm] \varphi [/mm] variiert r von 0 bis 2.
> 3) ich für phi von [mm]-\bruch{3\pi}{4}[/mm] bis [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
> integrieren muss, nicht umgekehrt und warum liegt der
> Bereich dazwischen, wo ja eigentlich die Bedingung nur auf
> den Rändern erfüllt ist?
Die Integration geht natürlich über das Innere des
Körpers (das Volumen), nicht über seinen Rand.
Deine Fragen kannst du durch Anschauung des Körpers
entscheiden, der durch die Ungleichungen beschrieben
wird. Der Körper entsteht, indem man den Zylinder
mit der z-Achse als Rotationsachse und mit dem Radius 2
unten durch die Ebene [mm] \Pi_1: [/mm] z=0 (also die x-y-Ebene)
abschneidet und oben durch die Ebene E: z=x-y.
Diese Ebene E schneidet die Ebene [mm] \Pi_1 [/mm] längs der
Geraden y=x. Dies ist die Winkelhalbierende zwischen
x-Achse und y-Achse. Wenn du dir noch klar machst,
auf welcher Seite dieser Geraden die Ebene E oberhalb
von [mm] \Pi_1 [/mm] liegt, sollte klar werden, wie der Körper aus-
sieht (nämlich so ein bisschen ähnlich wie ein umgekehr-
ter Pferdehuf) und warum der Winkel [mm] \varphi [/mm] von [mm] -\bruch{3\pi}{4} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]
laufen muss.
Gruß Al-Chw.
|
|
|
|
