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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion: f(x) = [mm] (x-2)^5 [/mm] |
Prüfen Sie f(x) nach Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Sattelpunkte, Monotonie, Krümmung.
Kann mir das jemand lösen? Habe ein Problem bei hoch 5.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Klaus!
Lösen wird Dir das hier im MatheRaum niemand. Aber gemeinsam wird das was ...
Wo genau liegen denn Deine Probleme? Bei den Nullstellen?
Hier musst Du den Funktionsterm gleich Null setzen:
[mm] $(x-2)^5 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\left| \ \wurzel[5]$
$x-2 \ = \ \wurzel[5]{0} \ = \ 0$
Bei den Ableitungen kannst Du ähnlich vorgehen wie bei Deiner letzten Frage: [[Potenzregel]] (in Verbindung mit [[Kettenregel]])
$f'(x) \ = \ 5*(x-2)^{5-1}*1 \ = \ 5*(x-2)^4$
Genauso kannst Du nun die anderen Ableitungen bilden.
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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OK, jetzt habe ich als Nullstelle 2 heraus. Hoffe das ist korrekt.
Die erste Ableitung habe ich auch soweit, bei der zweiten habe ich:
f''(x) = [mm] 20*(x-2)^3 [/mm] - Korrekt?
Nun weiß ich aber nicht wie ich da weiterrechnen soll. Bei Extremwerte z.B. y'(x) = [mm] 5*(x-2)^4 [/mm] = 0 - Wie stelle ich das an?
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Hallo Klaus!
> OK, jetzt habe ich als Nullstelle 2 heraus. Hoffe das ist
> korrekt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Die erste Ableitung habe ich auch soweit, bei der zweiten
> habe ich:
>
> f''(x) = [mm]20*(x-2)^3[/mm] - Korrekt?
> Nun weiß ich aber nicht wie ich da weiterrechnen soll. Bei
> Extremwerte z.B. y'(x) = [mm]5*(x-2)^4[/mm] = 0
Teile zunächst die Gleichung durch $5_$, anschließend wie oben bei der Nullstelle gezeigt vorgehen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
erst mal danke für die flotten Antworten. Das ist aber genau mein Problem.
Habe nämlich bei Extrem+Wendepunkt für x=2 heraus. Also genau das gleiche wie bei der Nullstelle.
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Hallo KlausFreitz,
> Hi,
>
> erst mal danke für die flotten Antworten. Das ist aber
> genau mein Problem.
>
> Habe nämlich bei Extrem+Wendepunkt für x=2 heraus. Also
> genau das gleiche wie bei der Nullstelle.
für das Vorliegen eines Wendepunktes gilt allgemein:
[mm]f'(x_0 )\; = \;f''(x_0 )\; = \; \ldots \; = \;f^{(2n)} (x_0 )\; = \;0,\;f^{(2n + 1)} (x_0 )\; \ne \;0[/mm]
Und für das Vorliegen eines Extremas:
[mm]f'(x_0 )\; = \;f''(x_0 )\; = \; \ldots \; = \;f^{(2n - 1)} (x_0 )\; = \;0,\;f^{(2n)} (x_0 )\; \ne \;0[/mm]
Gruß
MathePower
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Verstehe ich nicht. Könnten Sie das bitte etwas genauer erläutern?
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Hallo KlausFreitz,
> Verstehe ich nicht. Könnten Sie das bitte etwas genauer
> erläutern?
Verschwinden die ersten 2n Ableitungen einer Funktion f(x) an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] und ist die (2n+1)-te Ableitung von 0 verschieden so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Verschwinden die ersten (2n-1)Ableitungen einer Funktion f(x) an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] und ist die 2n-te Ableitung von 0 verschieden so handelt es sich um ein Extrema.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 24.01.2006 | | Autor: | Nani |
kurz gesagt wird eine Extremstelle folgendermaßen ausgerechnet:
man setzt f'=0 den ausgerechneten x-wert setzt man dann in f''(x) ein
wenn dann f''(x) < 0 ist liegt ein Hochpunkt vor
wenn f''(x) > 0 ein Tiefpunkt
Ich hoffe das hilf dir ein wenig weiter
Nani
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Das habe ich ja gemacht. Als x Wert bekomme ich 2 raus.
Und wenn ich 2 in die dritte Ableitung einsetze, bekomme ich -160 heraus. Also ein Max. - Aber der Graph sagt mir, dass es gar keinen Extremwert gibt ?!
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Hallo Klaus!
Der Wert der 2. Ableitung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ ist aber ebenfalls $0_$ (und nicht $-160_$).
Von daher musst Du überprüfen, ob die 1. Ableitung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ einen Vorzeichenwechsel vorliegen hast.
Liegt kein Vorzeichenwechsel vor (das solltest Du jedenfalls erhalten  ), handelt es sich nicht um ein Extremum sondern um eine Wendestelle (speziell: Sattelpunkt).
Gruß vom
Roadrunner
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OK, das habe ich jetzt auch verstanden. Aber ein Sattelpunkt ist doch nur dann vorhanden, wenn die erste Ableitung = 0 ist, oder?
Und in diesem Fall ist die erste Ableitung = 2
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Hallo Klaus!
> Aber ein Sattelpunkt ist doch nur dann vorhanden, wenn die erste
> Ableitung = 0 ist, oder?
Richtig!
> Und in diesem Fall ist die erste Ableitung = 2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht. Da solltest Du nochmal nachrechnen, ich habe erhalten: $f'(2) \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Ach so, jetzt weiß ich wie das gemeint ist. Ich muss die 2 in die erste Ableitung einsetzen.
Habe mal eine Test-Aufgabe gerechnet:
f(x) = [mm] x^7
[/mm]
Warum ist hier ein Sattelpunkt vorhanden? Wendepunkt ist klar, weil die 7te Ableitung ungleich 0 ist. Aber warum der Sattelpunkt?
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Hallo KlausFreitz,
> Ach so, jetzt weiß ich wie das gemeint ist. Ich muss die 2
> in die erste Ableitung einsetzen.
>
> Habe mal eine Test-Aufgabe gerechnet:
>
> f(x) = [mm]x^7[/mm]
>
> Warum ist hier ein Sattelenpunkt vorhanden? Wendepunkt ist
> klar, weil die 7te Ableitung ungleich 0 ist. Aber warum der
> Sattelpunkt?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt eine waagrechter Tangente.
Und dieser Wendepunkt hat eine waagrechte Tangente.
Gruß
MathePower
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