Von Hand differenzieren < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 17.04.2009 | | Autor: | hugenott |
| Aufgabe | Man ermittle das Differential folgender Funktionen... (per Hand!!!)
k(x) = [mm] 0.2x^2 [/mm] - 4x +60 - 200/x
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte bitte, jemand kann mir da sicher helfen!?
Im TR wärs ja kein Problem, aber per hand...
Bitte jeden einzelnen Schritt auflisten.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meinst du die Ableitung?
Du brauchst hier nur einige Ableitungsregeln, im Einzelnen die [mm] \red{Summenregel}, [/mm] die [mm] \green{Faktorregel} [/mm] und die Tatsache, dass [mm] \blue{f(x)=x^{n}} [/mm] die Ableitung [mm] \blue{f'(x)=nx^{n-1}} [/mm] hat.
Ach ja:
Ein wenig umformen kann auch nicht schaden:
[mm] k(x)=0.2x^{2}-4x+60-\bruch{200}{x} [/mm]
[mm] =\green{0,2}\blue{x²}\red{+}\green{(-4)}\blue{x^{1}}\red{+}\green{60}\red{+}\green{(-200)}\blue{x^{-1}}
[/mm]
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 17.04.2009 | | Autor: | hugenott |
Danke, aber soweit bin ich auch schon gekommen...
Ich weiss nicht, wie man diese Regeln hier einsetzen soll, ich bin total verwirrt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wo genau hakt es denn? Rechne doch mal diene Ansätze vor, ich habe es dir ja in der ersten Antwort farbig markiert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 17.04.2009 | | Autor: | hugenott |
direkt rechnen kann ichs ja im Kopf, aber ich krieg es mit dem Umweg über df / dx nicht gebacken...
müsste irgendwie so aussehen: f(x+dx)-f(x) / dx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> direkt rechnen kann ichs ja im Kopf, aber ich krieg es mit
> dem Umweg über df / dx nicht gebacken...
>
> müsste irgendwie so aussehen: f(x+dx)-f(x) / dx
Dazu siehe mal die andere Antwort, da steht auch die korrekte Notation.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Fr 17.04.2009 | | Autor: | hugenott |
Ich muss die Aufgabe nach diesem Schema lösen:
1. Ableitung, df / dx
2. lim df / dx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Also
[mm] f'(x)=\limes_{h\to0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Hier:
[mm] f'(x)=\limes_{h\to0}\bruch{\overbrace{0,2(x+h)²-4(x+h)+60-\bruch{200}{x+h}}^{f(x+h)}-\overbrace{\left[0,2x²-4x+60-\bruch{200}{x}\right]}^{f(x)}}{\red{h}}
[/mm]
Dazu versuche mal, den Zähler so umzuformen, dass du h kürzen kannst.
[mm] \bruch{0,2(x+h)²-4(x+h)+60-\bruch{200}{x+h}-\left[0,2x²-4x+60-\bruch{200}{x}\right]}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,2(x²+2hx+h²)-4x-4h+60-\bruch{200}{x+h}-0,2x²+4x-60+\bruch{200}{x}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,2x²+0,4hx+0,2h²-4x-4h+60-\bruch{200}{x+h}-0,2x²+4x-60+\bruch{200}{x}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,2x²-0,2x²+0,4hx+0,2h²-4x+4x-4h+60-60-\bruch{200}{x+h}+\bruch{200}{x}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,4hx+0,2h²-4h-\bruch{200}{x+h}+\bruch{200}{x}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,4hx+0,2h²-4h-\bruch{200x}{(x+h)x}+\bruch{200(h+x)}{x(x+h)}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,4hx+0,2h²-4h+\bruch{-200x+200(x+h)}{(x+h)x}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,4hx+0,2h²-4h+\bruch{200h}{x²+hx}}{\red{h}}
[/mm]
Jetzt klammere mal h in Zähler aus:
[mm] =\bruch{h\left(0,4x+0,2h-4+\bruch{200}{x²+hx}\right)}{\red{h}}
[/mm]
Jetzt kann man nämlich h kürzen, also
[mm] \bruch{h\left(0,4x+0,2h-4+\bruch{200}{x²+hx}\right)}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =0,4x+0,2h-4+\bruch{200}{x²+hx}
[/mm]
Und jetzt kannst du ohne Probleme h=0 setzen, also:
[mm] \limes_{h\to0}\bruch{\overbrace{0,2(x+h)²-4(x+h)+60-\bruch{200}{x+h}}^{f(x+h)}-\overbrace{\left[0,2x²-4x+60-\bruch{200}{x}\right]}^{f(x)}}{\red{h}}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\left(0,4x+0,2h-4+\bruch{200}{x²+hx}\right)
[/mm]
[mm] =0,4x+0,2*\red{0}-4+\bruch{200}{x²+\red{0}x}
[/mm]
[mm] =0,4x-4+\bruch{200}{x²}
[/mm]
Ist das ganze jetzt klarer?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Fr 17.04.2009 | | Autor: | hugenott |
Danke! Du bist mein Held! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Fr 17.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Bei dieser Art von Aufgaben ist der Trick, dass man im Zähler dann das h ausklammern muss, um dann ohne Probleme h=0 setzen zu können.
Diesen Weg solltest du dir also gut merken.
Marius
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