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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | GetBack |
| Aufgabe | | Man zeige: Ein Ideal I [mm] \subseteq [/mm] K[X] ist von Monomen erzeugt gdw. mit jedem Polynom f(X) = [mm] \summe a_\alpha X^\alpha \in [/mm] K[X] auch jedes Monom [mm] X^\alpha [/mm] von f zum Ideal gehört. |
Hallo,
könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Bin da echt am verzweifeln, weil ich keinen richtigen Ansatz dazu finde. In der Vorlesung hatten wir nur kurz darüber gesprochen nachdem wir den Hilbertschen Basissatz und das Lemma von Dickson durchgenommen hatten.
Das Lemma von Dickson hatten wir folgendermaßen aufgeschrieben:
Sei M [mm] \subseteq \IN^n [/mm] eine Treppe, d.h. M + [mm] \IN^n [/mm] = M, dann gibt es eine endliche Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] M mit B + [mm] \IN^n [/mm] = M.
Außerdem habe ich noch folgendes in meinen Aufzeichnungen gefunden:
Ein Ideal I [mm] \subseteq [/mm] K[X] heißt monomial, wenn es von Monomen erzeugt wird. Dann erfüllt die Menge seiner Monomenexponenten T(I) := { [mm] \alpha [/mm] | [mm] X^\alpha \in [/mm] I } die Treppen-Bedingung T(I) + [mm] \IN^n [/mm] = T(I).
Also was habe ich bis jetzt:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] I [mm] \subseteq [/mm] K[X] sei monomial, d.h. T(I) + [mm] \IN^n [/mm] = T(I) mit T(I) := { [mm] \alpha [/mm] | [mm] X^\alpha \in [/mm] I } . Sei nun f [mm] \in [/mm] K[X] mit f(X) = [mm] \summe a_\alpha X^\alpha, [/mm] dann ist zu zeigen: [mm] \alpha \in [/mm] T(I).
Und weiter komme ich da nicht...
Auch die andere Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] sieht nicht besser aus: Für alle f [mm] \in [/mm] K[X] sei nun [mm] X^\alpha \in [/mm] I. Zu zeigen wäre dann T(I) + [mm] \IN^n [/mm] = T(I).
Ich hoffe ihr habt einen (oder mehrere) Tipps für mich.
Vielen Dank im Vorraus
Euer GetBack
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Di 20.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Man zeige: Ein Ideal I [mm]\subseteq[/mm] K[X] ist von Monomen
> erzeugt gdw. mit jedem Polynom f(X) = [mm]\summe a_\alpha X^\alpha \in[/mm]
> K[X] auch jedes Monom [mm]X^\alpha[/mm] von f zum Ideal gehört.
> Hallo,
>
> könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Bin da echt am
> verzweifeln, weil ich keinen richtigen Ansatz dazu finde.
> In der Vorlesung hatten wir nur kurz darüber gesprochen
> nachdem wir den Hilbertschen Basissatz und das Lemma von
> Dickson durchgenommen hatten.
Die brauchst du nicht. Nur die nackte Definition.
> Außerdem habe ich noch folgendes in meinen Aufzeichnungen
> gefunden:
> Ein Ideal I [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[X] heißt monomial, wenn es von
> Monomen erzeugt wird.
Das brauchst du.
> Dann erfüllt die Menge seiner
> Monomenexponenten T(I) := { [mm]\alpha[/mm] | [mm]X^\alpha \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I } die
> Treppen-Bedingung T(I) + [mm]\IN^n[/mm] = T(I).
Das wiederum nicht. (Ausserdem charakterisiert das nicht Monomideale, sondern gilt ganz allgemein fuer alle Ideale.)
> Also was habe ich bis jetzt:
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] I [mm]\subseteq[/mm] K[X] sei monomial, d.h. T(I) +
> [mm]\IN^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= T(I) mit T(I) := { [mm]\alpha[/mm] | [mm]X^\alpha \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I } . Sei
> nun f [mm]\in[/mm] K[X] mit f(X) = [mm]\summe a_\alpha X^\alpha,[/mm] dann
> ist zu zeigen: [mm]\alpha \in[/mm] T(I).
> Und weiter komme ich da nicht...
Nun, du kannst das Element des Ideals doch als Linearkombination (mit Elementen aus $K[X]$) von Erzeugern schreiben. Die Erzeuger sind Monome. Die Faktoren in den Linearkombinationen kannst du auch als Summe von Monomen (mit skalaren Faktoren) schreiben. Und jedes Monom im Polynom ist somit eine Linearkombination von Erzeugern multipliziert mit Elementen aus $K[X]$, liegt also im Ideal.
> Auch die andere Richtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] sieht nicht besser
> aus: Für alle f [mm]\in[/mm] K[X] sei nun [mm]X^\alpha \in[/mm] I. Zu zeigen
> wäre dann T(I) + [mm]\IN^n[/mm] = T(I).
Nein, das brauchst du nicht zu zeigen. Nimm dir doch mal einen Satz Erzeuger. Nach Voraussetzung ist jedes Monom der Erzeuger auch im Ideal, also kannst du die Erzeuger durch ihre Monome ersetzen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 21.01.2009 | | Autor: | GetBack |
Hallo,
vielen Dank für deine Ausführungen, aber eine Sache ist mir daran nicht ganz klar. Nehme ich zum Beispiel das Ideal I = [mm] (X^2,X^3) [/mm] = [mm] \{ r_1 X^2 + r_2 X^3 | r_i \in K[X] \}. [/mm] Dieses ist ja von Monomen erzeugt. Zusätzlich wähle ich nun ein Element aus dem Polynomring f(X) = [mm] 4X^5 [/mm] + [mm] 2X^2 [/mm] + X. Nun bin ich der Meinung, dass das Monom aus diesem Polynom X [mm] \not\in [/mm] I ist, da ich X nicht als Linearkombination [mm] \summe a_i r_i [/mm] mit [mm] a_i \in [/mm] I und [mm] r_i \in [/mm] K[X] darstellen kann.
Sehe ich das irgendwie falsch?
Vielen Dank im Vorraus
GetBack
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> vielen Dank für deine Ausführungen, aber eine Sache ist mir
> daran nicht ganz klar. Nehme ich zum Beispiel das Ideal I =
> [mm](X^2,X^3)[/mm] = [mm]\{ r_1 X^2 + r_2 X^3 | r_i \in K[X] \}.[/mm] Dieses
> ist ja von Monomen erzeugt. Zusätzlich wähle ich nun ein
> Element aus dem Polynomring f(X) = [mm]4X^5[/mm] + [mm]2X^2[/mm] + X. Nun bin
> ich der Meinung, dass das Monom aus diesem Polynom X
> [mm]\not\in[/mm] I ist, da ich X nicht als Linearkombination [mm]\summe a_i r_i[/mm]
> mit [mm]a_i \in[/mm] I und [mm]r_i \in[/mm] K[X] darstellen kann.
> Sehe ich das irgendwie falsch?
Nein, aber [m]f\notin I[/m]. Kann es sein, dass bei der Aufgabenstellung ein bisschen was schief gegangen ist? Also bei der rechten Seite der Äquivalenz soll das f schon im Ideal sein, und nicht beliebig - sonst würde alles auch gar keinen Sinn machen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mi 21.01.2009 | | Autor: | felixf |
Moin
> > vielen Dank für deine Ausführungen, aber eine Sache ist mir
> > daran nicht ganz klar. Nehme ich zum Beispiel das Ideal I =
> > [mm](X^2,X^3)[/mm] = [mm]\{ r_1 X^2 + r_2 X^3 | r_i \in K[X] \}.[/mm] Dieses
> > ist ja von Monomen erzeugt. Zusätzlich wähle ich nun ein
> > Element aus dem Polynomring f(X) = [mm]4X^5[/mm] + [mm]2X^2[/mm] + X. Nun bin
> > ich der Meinung, dass das Monom aus diesem Polynom X
> > [mm]\not\in[/mm] I ist, da ich X nicht als Linearkombination [mm]\summe a_i r_i[/mm]
> > mit [mm]a_i \in[/mm] I und [mm]r_i \in[/mm] K[X] darstellen kann.
> > Sehe ich das irgendwie falsch?
>
> Nein, aber [m]f\notin I[/m]. Kann es sein, dass bei der
> Aufgabenstellung ein bisschen was schief gegangen ist?
Nun, jetzt wo du es sagst... Das ist tatsaechlich sehr komisch formuliert. Wenn man weiss wie die richtige Aufgabenstellung lauten sollte merkt man das nicht umbedingt (so ist es mir ergangen), aber wenn man sie nicht kennt...
> Also
> bei der rechten Seite der Äquivalenz soll das f schon im
> Ideal sein, und nicht beliebig - sonst würde alles auch gar
> keinen Sinn machen.
Genau.
LG Felix
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