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| Aufgabe | Gegeben ist: [mm] y''-\frac{2}{x}\cdot y'+\left(1+\frac{2}{x^2}\right)\cdot y=x^2
[/mm]
a) Zeigen Sie das [mm] y_p=x\cdot\cos(x) [/mm] eine Einzellösung der homogenen Dgl. ist.
b) Subst. Sie mit [mm] z(x)=\frac{y(x)}{x\cdot\cos(x)}, [/mm] d.h. [mm] y(x)=(x\cdot\cos(x))\cdot [/mm] z(x), in der homogen Dgl. und lösen Sie die Ersatzaufgabe [mm] z_{hom}.
[/mm]
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Wir haben die Aufgabe und ich komm da zu keinem Punkt.
Mal kurz zu dem, was ich bereits versucht habe:
a)
Dachte man könnte die Aufgabe auf eine Euler-Dgl zurückführen.
leider scheitere ich dann an der Funktion die herauskommt:
[mm] x^2\cdot y''-2\cdot x\cdot y'+x^2+2\cdot y=x^4
[/mm]
Hier komm ich nicht weiter, weil es müsste ja von der Form her
[mm] x^2\cdot y''-x\cdot [/mm] y'+y=0
rauskommen. (erstes Problem?)
Dann hab ich meinen TR befragt: Als Lösung kommt
[mm] y=C_1\cdot\cos(x)\cdot x+C_2\cdot\sin(x)\cdot x+x^2
[/mm]
Daraus kann man doch schlussfolgern, dass fuer die Lösung der Euler
[mm] \lambda_{1/2}=1\pm [/mm] j sein müsste?
b)
Hab ich subst. und komm dann eingesetzt auf:
[mm] zx\cdot\cos(x)\cdot z''-2\cdot x\cdot\sin(x)\cdot z'=x^2
[/mm]
Steh ich wieder vor dem Problem das ich nach dem umstellen:
[mm] z''-2\cdot\tan(x)\cdot [/mm] z' [mm] =\frac{x^2}{\cos(x)} [/mm] habe.
Bis jetzt hatten wir nur inhomogene Gleichungen höherer Ordnung in der Form:
[mm] z''-a\cdot z'+b\cdot [/mm] z=s(x)
Daher meine Frage wie löst man sowas?
Ich hatte jetzt die Idee die allgemeine Lösung mit 0 setzen zu erhalten, dann könnte man eventuell in Richtung TdV gehen?
Seh da gerade keinen Stich, daher danke schon mal,
Jens
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> Gegeben ist: [mm]y''-\frac{2}{x}\cdot y'+\left(1+\frac{2}{x^2}\right)\cdot y=x^2[/mm]
>
> a) Zeigen Sie das [mm]y_p=x\cdot\cos(x)[/mm] eine Einzellösung der
> homogenen Dgl. ist.
Hallo Jens,
für Aufgabe a genügt es doch, die vorgegebene
Lösung [mm] y_p(x) [/mm] zweimal abzuleiten und die
Ergebnisse in die linke Seite der DGL einzusetzen.
Dann zeigt sich, ob dies wirklich eine Lösung der
homogenen DGL ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | dermoench |
Danke es hat sich als keine Euler Dgl. herausgestellt, mal wieder viel zu weit gedacht. Aber danke trotzdem.
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