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Da mein mündliche Abiturprüfung bald ansteht und ich kaum eine Ahnung von Stochastik besitze (da unser Mathlehrer beinahe 2 Monate krank war), brauche ich nun eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Aufgabe Wahrscheinlichkeit:
Ihnen wird folgendes Spiel angeboten:
Sie legen Einsatz von 8 DM auf den Tisch. Danach wird dreimal hintereinander eine Münze geworfen. Bei jedem gefallenen Wappen wird der Einsatz verdoppelt. Fällt Zahl, so wird der Einsatz halbiert. Nach den drei Würfeln dürfen Sie den auf dem Tisch liegenden Betrag einstreichen.
Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist.
Danke für jede Hilfe ! ;)
Bis bald... ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo aLeX.chill
ich möchte hier mal einen Antwortversuch machen, wohlwissend, dass Marc das Antworten bis 14:00 Uhr vorreserviert hat.
Mich interessiert dabei lediglich, wie weit mein Lösungsversuch fernab von jeder Theorie (ich beschäftige mich (noch) nicht mit Stochastik, mein Wissen dazu stammt aus uralten, beinahe vollständig verlorengegangenen Erinnerungen aus den 70er-Jahren) durch eine fundierte Theorie verbessert wird.
Also Marc, auch ich warte gespannt auf eine Antwort! 
Also: ich würde so vorgehen: es gibt nur 8 Möglichkeiten ([mm]2^3[/mm]), wie die Münzen fallen können, wobei die Reihenfolge wesentlich ist und jede der 8 Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich zu betrachten ist.
Wenn ich das Wappen mit 1 bezeichne und die Zahl mit 0, so kann ich einfach die Möglichkeiten aufzählen:
1) 000
2) 001
3) 010
4) 011
5) 100
6) 101
7) 110
8) 111
Zu diesen Möglichkeiten gehören folgende liegengebliebenen Einsätze:
1) 1.-
2) 4.-
3) 4.-
4) 16.-
5) 4.-
6) 16.-
7) 16.-
8) 64.-
Im Durchschnitt bleiben [mm]\bruch{125}{8} = 15\bruch{5}{8}[/mm] .-liegen.
Das Spiel ist also mehr als fair! Wer sowas anbietet, scheint von Vornherein auf Verlust zu stehen 
Ich denke, ich würde das Spiel annehmen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo aLeX.chill,
> Aufgabe Wahrscheinlichkeit:
> Ihnen wird folgendes Spiel angeboten:
> Sie legen Einsatz von 8 DM auf den Tisch. Danach wird
> dreimal hintereinander eine Münze geworfen. Bei jedem
> gefallenen Wappen wird der Einsatz verdoppelt. Fällt Zahl,
> so wird der Einsatz halbiert. Nach den drei Würfeln dürfen
> Sie den auf dem Tisch liegenden Betrag einstreichen.
>
> Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist.
Mir bleibt zum Glück nur noch, ein paar Pseudo-Fachbegriffe beizusteuern (so richtig firm bin ich darin auch nicht).
Paulus Lösung ist absolut richtig, und ändert sich auch nicht, wenn man ein paar Fachbegriffe einstreut
Formal könnte man an die Aufgabe so rangehen:
Man stellt eine Zufallsgröße X auf, die für die verschiedenen acht Ergebnisse des Versuchs den Gewinn ermittelt. Dies ist Paulus' zweite Tabelle.
(Paulus hat übrigens sozusagen nicht den Gewinn X durch die Zufallsvariable ausgedrückt, sondern die Einnahmen Y; er erhält deswegen am Ende ein um den Einsatz 8 Euro größeres Ergebnis; er muß also zur Gewinnermittlung am Ende die 8 Euro wieder rausrechnen: X=Y-8)
Für diese Zufallsgröße ermittelt man dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(X=-7)=1/8 (beachte, dass X den Gewinn ermittelt; bleibt am Ende 1 Euro übrig, so hat man 7 Euro Verlust gemacht)
P(X=-4)=3/8 (denn {X=-4}={001,010,100})
P(X=8)=3/8
P(X=56)=1/8
Ein Spiel nennt man fair, wenn der Erwartungswert 0 ist:
E(X)=(-7)*1/8 + (-4)*3/8 + 8*3/8 + 56*1/8= 1/8*(-7-12+24+56) = 1/8*61 = 7 5/8
Der Spieler kann also bei häufiger Durchführung mit einem durchschnittlichen Gewinn von 7 5/8 pro Spiel rechnen.
Das Spiel ist also nicht fair, da es den Spieler begünstigt (ich gehe hier davon aus, dass fair heißt: Für alle Beteiligten fair.)
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Do 13.05.2004 | | Autor: | aLeX.chill |
Wollte mich noch bedanken. Haben im Matheunterricht die Aufgabe ähnlich gelöst (per Tabelle), aber im Endefekt das Gleiche ;)
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