Vorbestimmtes Ereignis < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Do 28.10.2010 | | Autor: | Yomu |
| Aufgabe | In einer Urne liegen 10 Kugeln davon sind 4 weiss und 6 rot. Es sollen nun nacheinander 2 Kugeln ohne zurücklegen gezogen werden, es ist jedoch bekannt das beim zweiten Zug eine weisse Kugel gezogen wird.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das zwei weisse Kugeln gezogen werden. |
Hallo,
Diese Aufgabe hatten wir neulich in einer Klausur, ich glaube mein Mathelehrer hat sie sich selbst ausgedacht.
Ich hätte gedacht das die Wahrscheinlichkeit 4/10 beträgt, da die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug für eine Weisse 4/10 und beim zweiten ja wohl 1 beträgt. Die angebliche Lösung ist aber 3/9, mein Mathelehrer erklärt das mit der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit, also P(A|B)=A [mm] \cup [/mm] B / P(B) , aber ich kann mir einfach nicht vorstellen das man das hier anwenden kann. Wir haben übrigens die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit noch nicht wirklich behandelt, also war das in der Klausur eine kleine Denkaufgabe.
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen und mir diese Lösung erklären, vielen Dank im vorraus,
mfg Yomu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Yomu,
mal abgesehen davon, dass deine Formel nur bedingt stimmt und es bestimmt heissen soll:
$P(A|B) = [mm] \bruch{P(A \cap B)}{P(B)}$
[/mm]
kommt man auch damit auf deine [mm] \bruch{4}{10}
[/mm]
Sei
A = Beide Kugeln sind weiss
B = Die zweite Kugel ist weiss
dann gilt mit hypergeometrischer Verteilung:
$P(A) = [mm] \bruch{\vektor{4 \\ 2}*\vektor{6 \\ 0}}{\vektor{10 \\ 2}} [/mm] = [mm] \bruch{6}{45}$
[/mm]
$P(B) = [mm] \bruch{3}{9}$
[/mm]
Sowie: $A [mm] \cap [/mm] B = A$, da $A [mm] \subset [/mm] B$
Daraus folgt:
$P(A|B) = [mm] \bruch{P(A)}{P(B)} [/mm] = [mm] \bruch{6*9}{3*45} [/mm] = [mm] \bruch{2*1}{1*5} [/mm] = [mm] \bruch{4}{10}$
[/mm]
edit: Korrektur:
$P(B) = [mm] \bruch{3}{9}$ [/mm] gilt natürlich NICHT immer, sondern nur, wenn die erste Kugel weiss ist, d.h. es gilt:
P(B| "erste Kugel weiss") = [mm] \bruch{3}{9}
[/mm]
Da P(B) = P(B | "erste Kugel weiss")*P("erste Kugel weiss") + P(B | "erste Kugel nicht weiss")*P("erste Kugel nicht weiss") gilt und
P(B | "erste Kugel nicht weiss") = [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
P("erste Kugel weiss") = [mm] \bruch{4}{10}
[/mm]
P("erste Kugel nicht weiss") = [mm] \bruch{6}{10}
[/mm]
folgt:
$P(B) = [mm] \bruch{3}{9}*\bruch{4}{10} [/mm] + [mm] \bruch{4}{9}*\bruch{6}{10} [/mm] = [mm] \bruch{4}{10}$
[/mm]
und damit:
$P(A|B) = [mm] \bruch{3}{9}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Do 28.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Deine Rechnung stimmt nicht, denn
> $ P(B) = [mm] \bruch{3}{9} [/mm] $
ist falsch.
Tatsächlich ist P(B) = [mm] \bruch{4}{10} [/mm] (sowie $ P(B|A) = [mm] \bruch{3}{9} [/mm] $)
Somit ergibt sichfür die gesuchte Wahrscheinlichkeit tatsächlich der Wert 3/9.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Sax,
warum sollte [mm] $P(B)=\bruch{4}{10}$ [/mm] sein?
Zur zweiten Ziehung befinden sich nur noch 9 Kugeln in der Urne, wovon 3 weiss sind...
edit: Sind natürlich nur dann 3, wenn bei der ersten Kugel weiss gezogen wurde, die Information hab ich in B aber gar nicht..... habs also selbst rausgefunden 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Do 28.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hallo, dass nur noch drei weiße da sind ist eben nur dann richtig, wenn du schon weißt, dass die erste Kugel weiß war, also P(B|A).
Die zweite kann auch weiß sein, wenn die erste rot war, also P(B) = [mm] \bruch{4}{10}*\bruch{3}{9} [/mm] + [mm] \bruch{6}{10}*\bruch{4}{9} [/mm] = [mm] \bruch{4}{10}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
jop, habs oben schon korrigiert.
Danke für den Schubs in die richtige Richtung
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Do 28.10.2010 | | Autor: | Yomu |
Hallo Gono,
Dankeschön für deine schnelle und gut erklärte Antwort, so das ichs auch verstanden hab, da hatte ich wohl doch recht :)
Ich meinte bei der Formel nätürlich A [mm] \cap [/mm] B, mit den Zeichen komm ich noch manchmal durcheinander
mfg Yomu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
nein, hast du nicht, du hast den gleichen Denkfehler gemacht, wie ich
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel weiss ist, ist nur DANN [mm] \bruch{3}{9}, [/mm] wenn du bereits weisst, dass die erste Kugel weiß ist.
Allgemein gilt das natürlich nicht.....
edit: Hab meine Antwort mal erweitert.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 Do 28.10.2010 | | Autor: | Yomu |
Hm, schade eigentlich :)
Aber immerhin hab ichs jetzt begriffen
Danke nochmal und natürlich auch an Sax
mfg Yomu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:00 Do 28.10.2010 | | Autor: | Yomu |
keine Ahnung wie man artikel löscht..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 28.10.2010 | | Autor: | Yomu |
Ok ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und hab schon wieder Zweifel :(
Ich hab zwar nun verstanden wie die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit funktioniert, allerdings bin ich mir nicht sicher ob man diese hier überhaupt anwenden kann.
In unserm Tafelwerk ist die bedingten Wahrscheinlichkeit so definiert:
"Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bereits eingetreten ist"
Ich denke es macht einen Unterschied ob das Ereignis B bereits eingetreten ist: Wenn man nun als Bedingung nimmt, dass die erste Kugel weiss ist, ist es klar: eine weisse kugel wird rausgenommen, noch 9 Kugeln davon 3 Weisse drin, die Wahrscheinlichkeit nun auch beim zweiten zug eine Weisse zu ziehen ist dann 3/9.
Wenn nun festgelegt ist, dass man beim zweiten zug eine weisse zieht, dann zieht man ja die erste Kugel mit einer Warscheinlichkeit von 4/10, da die zweite Kugel schon festgelegt ist und auch noch weisse Kugeln vorhanden sind ändert sich nichts.
Habe ich hier einen Denkfehler?
mfg Yomu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Ok ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und hab schon
> wieder Zweifel :(
>
> Ich hab zwar nun verstanden wie die Formel zur bedingten
> Wahrscheinlichkeit funktioniert, allerdings bin ich mir
> nicht sicher ob man diese hier überhaupt anwenden kann.
>
> In unserm Tafelwerk ist die bedingten Wahrscheinlichkeit so
> definiert:
> "Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der
> Voraussetzung, dass das Ereignis B mit einer bestimmten
> Wahrscheinlichkeit bereits eingetreten ist"
> Ich denke es macht einen Unterschied ob das Ereignis B
> bereits eingetreten ist: Wenn man nun als Bedingung nimmt,
> dass die erste Kugel weiss ist, ist es klar: eine weisse
> kugel wird rausgenommen, noch 9 Kugeln davon 3 Weisse drin,
> die Wahrscheinlichkeit nun auch beim zweiten zug eine
> Weisse zu ziehen ist dann 3/9.
> Wenn nun festgelegt ist, dass man beim zweiten zug eine
> weisse zieht, dann zieht man ja die erste Kugel mit einer
> Warscheinlichkeit von 4/10, da die zweite Kugel schon
> festgelegt ist und auch noch weisse Kugeln vorhanden sind
> ändert sich nichts.
> Habe ich hier einen Denkfehler?
Nein.
Dein Lehrer wollte eine ganz tolle Aufgabe erfinden und hat sich dabei mächtig vertan.
Gruß Abakus
>
> mfg Yomu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Abakus,
das dachte ich auch erst, aber rein formell macht sie schon Sinn.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Yomu |
Aber wie gesagt, nach Definition kann man die Formle eigentlich nicht anwenden und wenn man genauer nachdenkt macht 3/9 keinen Sinn.
mfg Yomu
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