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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 So 12.12.2010 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | A = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
B = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
C = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] |
Guten abend,
aus meiner Aufgabenstellung die ich jetzt nicht abgetippt habe ergibt sich dass der Vektor [mm] \overline{AB} [/mm] Normalenvektor meiner Ebene ist.
[mm] \overline{AB} [/mm] = B - A = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Mittelpunkt von A und B ist C.
Wenn ich jetzt die Hessesche Normalen Form aufstellen möchte ergibt sich für mich [mm] \vec{n_{0}} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}}{\wurzel{3}}
[/mm]
Bei der Ermittlung von d wird es nun unverständlich.
$d = [mm] \vec{n_{0}} [/mm] * [mm] \vec{c} [/mm] $ C als Zugangsvektor der Ebene.
[mm] \bruch{\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}}{\wurzel{3}} [/mm] * [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}}
[/mm]
Doch es soll ja gelten: $ d [mm] \ge [/mm] 0 $
Wenn ich jetzt aber zu Beginn statt B-A einfach A-B rechne ( im Prinzip dasselbe ) erhalte ich ja die Vorzeichen so dass ich am Ende [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}} [/mm] = + [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{3}}
[/mm]
erhalte.
Das kann doch eigentlich nicht sein?
Ich hatte mich auch erst vertan und [mm] \bruch{\overline{AB}}{2} [/mm] als C genommen, damit hätte es dann mit den Vorzeichen auch gepasst und man hätte $d = [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] erhalten.
Richtig ist doch aber{A + B}{2} .
Die Frage ist wie ich meine Problematik mit d nun löse. Ich hoffe mal ihr könnte mir da schnell die Augen öffnen.
lg moody
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N'Abend moody!
Das Problem das Du siehst, gibts gar nicht. 
> A = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> B = [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
> C = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Guten abend,
>
> aus meiner Aufgabenstellung die ich jetzt nicht abgetippt
> habe ergibt sich dass der Vektor [mm]\overline{AB}[/mm]
> Normalenvektor meiner Ebene ist.
Und offenbar geht sie durch C, wie sich später zeigt. Das nehme ich mal als gegeben.
> [mm]\overline{AB}[/mm] = B - A = [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-1}[/mm]
In LaTeX besser [mm] \overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\cdots
[/mm]
vec geht nur für Bezeichnungen mit einem Zeichen Länge, overrightarrow auch für längere.
> Mittelpunkt von A und B ist C.
Jo.
> Wenn ich jetzt die Hessesche Normalen Form aufstellen
> möchte ergibt sich für mich [mm]\vec{n_{0}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\vektor{-1 \\
1 \\
-1}}{\wurzel{3}}[/mm]
Auch ok.
> Bei der Ermittlung von d wird es nun unverständlich.
>
> [mm]d = \vec{n_{0}} * \vec{c}[/mm] C als Zugangsvektor der Ebene.
>
> [mm]\bruch{\vektor{-1 \\
1 \\
-1}}{\wurzel{3}}[/mm] *
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2} \\
\bruch{1}{2}}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm]
>
> Doch es soll ja gelten: [mm]d \ge 0[/mm]
Aha. Hier ist das nicht existente Problem. Wer behauptet das denn?
> Wenn ich jetzt aber zu Beginn statt B-A einfach A-B rechne
> ( im Prinzip dasselbe ) erhalte ich ja die Vorzeichen so
> dass ich am Ende [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm] = + [mm]\bruch{1}{2 \wurzel{3}}[/mm]
>
> erhalte.
>
> Das kann doch eigentlich nicht sein?
Na doch. Du zeigst damit ja gerade, wie man einen anderen Normalenvektor findet (genau entgegengesetzt), mit dem sich das Vorzeichen des zugehörigen d umkehrt. Natürlich kann man immer so normieren, dass d positiv wird. Dann muss der Normalenvektor von der Ebene weg in die Richtung zeigen, auf der der Nullpunkt gerade nicht liegt. Das ist auch schon alles.
> Ich hatte mich auch erst vertan und
> [mm]\bruch{\overline{AB}}{2}[/mm] als C genommen, damit hätte es
> dann mit den Vorzeichen auch gepasst und man hätte [mm]d = \bruch{3}{2}[/mm]
> erhalten.
> Richtig ist doch aber{A + B}{2} .
>
> Die Frage ist wie ich meine Problematik mit d nun löse.
> Ich hoffe mal ihr könnte mir da schnell die Augen
> öffnen.
Weiß nicht. Ich hoffe schon.
> lg moody
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 13.12.2010 | | Autor: | moody |
> Und offenbar geht sie durch C, wie sich später zeigt. Das nehme ich mal > als gegeben.
Ja das ist korrekt, bzw. eine der Vorraussetzungen die die Ebene erfüllen soll.
> > Doch es soll ja gelten: [mm]d \ge 0[/mm]
>
> Aha. Hier ist das nicht existente Problem. Wer behauptet
> das denn?
E = {x [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] \vec_{x} [/mm] * [mm] \vec_{n} [/mm] = d in [mm] \IR [/mm] } ist die Normalenform von E.
Ist [mm] ||\vec_{n}|| [/mm] = 1 und d [mm] \ge [/mm] 0 ist diese Form die Hessesche Normalenform.
So aus meinem Vorlesungsskript übernommen.
> Na doch. Du zeigst damit ja gerade, wie man einen anderen
> Normalenvektor findet (genau entgegengesetzt), mit dem sich
> das Vorzeichen des zugehörigen d umkehrt.
Soweit klar.
>Natürlich kann
> man immer so normieren, dass d positiv wird. Dann muss der
> Normalenvektor von der Ebene weg in die Richtung zeigen,
Sprich Normalenvektor *(-1)
> auf der der Nullpunkt gerade nicht liegt. Das ist auch
> schon alles.
Was genau meinst du damit? Also klar ist dass wenn ich statt [mm] \overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A} \overrightarrow{AB}=\vec{A}-\vec{B} [/mm] dass dann mein Normalenvektor in die andere Richtung zeigt.
Aber was heisst jetzt da wo der Nullpunkt ( was ist mit Nullpunkt gemeint? ) nicht liegt?
> Weiß nicht. Ich hoffe schon.
Ja auf jeden Fall, vielen Dank! Das hat mir bisher schon sehr geholfen, ich habe die Aufgabe jetzt so oft gemacht, dass ich mir bei den Zahlenwerten sicher bin, und bin daher schonmal ganz froh dass ich jetzt die Bestätigung habe, dass ich doch nicht ganz so aufm Schlauch stand.
lg moody
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Hallo nochmal,
> > > Doch es soll ja gelten: [mm]d \ge 0[/mm]
> >
> > Aha. Hier ist das nicht existente Problem. Wer behauptet
> > das denn?
>
> $ [mm] E=\{\vec{x}\in\IR^3\ |\ \vec{x}*\vec{n}=d \in \IR\} [/mm] $ ist
> die Normalenform von E.
> Ist [mm]||\vec_{n}||[/mm] = 1 und d [mm]\ge[/mm] 0 ist diese Form die
> Hessesche Normalenform.
>
> So aus meinem Vorlesungsskript übernommen.
Na, dann musst du den Vektor entsprechend wählen.
> > Na doch. Du zeigst damit ja gerade, wie man einen anderen
> > Normalenvektor findet (genau entgegengesetzt), mit dem sich
> > das Vorzeichen des zugehörigen d umkehrt.
> Soweit klar.
> >Natürlich kann
> > man immer so normieren, dass d positiv wird. Dann muss der
> > Normalenvektor von der Ebene weg in die Richtung zeigen,
> Sprich Normalenvektor *(-1)
> > auf der der Nullpunkt gerade nicht liegt. Das ist auch
> > schon alles.
>
> Was genau meinst du damit? Also klar ist dass wenn ich
> statt [mm]\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A} \overrightarrow{AB}=\vec{A}-\vec{B}[/mm]
> dass dann mein Normalenvektor in die andere Richtung
> zeigt.
> Aber was heisst jetzt da wo der Nullpunkt ( was ist mit
> Nullpunkt gemeint? ) nicht liegt?
Hm, korrekt wäre natürlich "Ursprung des Koordinatensystems" gewesen. Pardon.
Eine Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume. Wenn die Ebene nicht durch den Ursprung geht, dann liegt der Ursprung in einem der beiden Halbräume. Der Vektor steht aber sozusagen auf der Ebene und zeigt in den anderen Halbraum.
Genauer zu definieren wäre natürlich: der Normalenvektor (der Hesseschen Normal(en)form) ist ein positives Vielfaches des Lotvektors vom Ursprung auf die Ebene.
> > Weiß nicht. Ich hoffe schon.
> Ja auf jeden Fall, vielen Dank! Das hat mir bisher schon
> sehr geholfen, ich habe die Aufgabe jetzt so oft gemacht,
> dass ich mir bei den Zahlenwerten sicher bin, und bin daher
> schonmal ganz froh dass ich jetzt die Bestätigung habe,
> dass ich doch nicht ganz so aufm Schlauch stand.
Ach, die meisten Schläuche sind ja letztlich doch nichts anderes als ein Doughnut, oder?
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
> > Eine Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume. Wenn die
> > Ebene nicht durch den Ursprung geht, dann liegt der
> > Ursprung in einem der beiden Halbräume. Der Vektor steht
> > aber sozusagen auf der Ebene und zeigt in den anderen
> > Halbraum.
> > Genauer zu definieren wäre natürlich: der
> Normalenvektor
> > (der Hesseschen Normal(en)form) ist ein positives
> > Vielfaches des Lotvektors vom Ursprung auf die Ebene.
>
> Sprich es ist schon wichtig für die HNF bzw.
> Vorraussetzung dass es sich um eine HNF handelt dass ich
> für den Fall dass ich ein negatives d erhalte, die
> Richtung meines Normalenvektors entsprechend ändere dass
> ein positives d herauskommt? So genau haben wir die HNF in
> der Schule nicht besprochen bzw. definiert.
Ja, das scheint Konsens zu sein. Ich meine aber auch, dass sie an der Schule noch nicht mit [mm] d\ge{0} [/mm] festgelegt war.
> > Ach, die meisten Schläuche sind ja letztlich doch nichts
> > anderes als ein Doughnut, oder?
> Das stimmt allerdings
Na dann: aufessen, weitermachen.
Ich aber heute nicht mehr. So viel Süßes vor dem Schlafengehen...
> lg moody
Nächtle,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Mo 13.12.2010 | | Autor: | moody |
> Ja, das scheint Konsens zu sein. Ich meine aber auch, dass
> sie an der Schule noch nicht mit [mm]d\ge{0}[/mm] festgelegt war.
Ich nehme es dann einfach mal hin bzw. gewöhne mir an in entsprechenden Fällen [mm] \vec_{n} [/mm] zu ändern.
> Na dann: aufessen, weitermachen.
> Ich aber heute nicht mehr. So viel Süßes vor dem
> Schlafengehen...
Ich mache heute auch nichts mehr, ich bedanke mich dann nochmal für deine schnelle Hilfe, so kann ich dann jetzt auch beruhigt schlafen gehen.
Gute nacht,
moody
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![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]"){kind=small}
Da hätte ich eigentlich auch drauf kommen können, mir war der Ausdruck nur unbekannt.
