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Hallo,
also ich habe mal eine Frage bezgl. des Vorzeichenwechsels.
Wenn ich eine Extremstelle eines Graphen rausfinden möchte, dann bilde ich zuerst die erste Ableitung und erhalte, wenn ich diese gleich 0 setze, MÖGLICHE Extremstellen.
Um diese jetzt zu überprüfen muss ich den Vorzeichenwechsel machen. Also ich setze eine Zahl, die kleiner ist und eine die größer ist, ein, als die, die ich rausbekommen habe.
Ist das jetzt eine Extremstelle, wenn einmal was positives und einmal was negatives rauskommt? Stimmt das? WIe kann ich mir das vorstellen?
LG Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 25.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja das stimmt. Stell dir das einfach mal bei der Funktion f(x)=x² vor. Die hat ja bei x=0 einen Tiefpunkt.
Die Ableitung davon ist f'(x)=2x.
Du kannst dir das so vorstellen:
Die Ableitungsfunktion (ist ja nur eine Gerade) ist für x<0 immer negativ. Das heißt für die richtige Funktion (y=x²), dass ihr Anstieg für x<0 auch immer negativ ist (die Funktion fällt).
Für x>0 ist die Ableitungsfunktion immer positiv und damit auch der Anstieg der richtigen Funktion (die Funktion steigt).
So kannst du auch sagen, welche Art von Extremum vorliegt.
Denn wenn der Graf erst fällt, dann der Anstieg 0 ist, und dann wieder steigt, muss es ja ein Tiefpunkt sein!
Wenn der Graf steigt, der Anstieg dann 0 wird, und dann wieder sinkt, muss es ein Hochpunkt sein!
Alles klar?
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Hm,... also ich weiß zwar, dass ich immer etwas negatives und etwas Positives rauskriegen muss, aber ich habe deine Erklärung gerade leider nicht verstanden.
Kannst du es vll nochmal anders erklären?
LG Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 25.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Keine Problem :) ich weiß ja auch nicht, wie weit ihr mit dem Stoff seid...
Also, die Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt ja immer den Anstieg der normalen Funktion an dieser Stelle an. Ist die Ableitungsfunktion an einer Stelle negativ, dann heißt das für die normale Funktion, dass sie an dieser Stelle fällt.
Nochmal als Beispiel f(x)=x²:
f(x)=x²
f'(x)=2x
Sagen wir mal, wir wollen schauen, ob die Parabel bei x=-3 steigt oder fällt.
(hier ist es einfach, da du ja sicher weißt wie die aussieht ;))
Also kannst du x=-3 in die 1. Ableitung einsetzen und erhälst f'(-3)=-6.
Das heißt, dass die Parabel an der Stelle x=-3 einen Anstieg von m=-6 hat, also fällt (denn wenn m>0 ist steigt die Funktion, für m<0 fällt die Funktion und für m=0 ist sie waagerecht).
Soweit alles klar erstmal?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 So 25.02.2007 | | Autor: | Informacao |
Hm... ja... ich glaube, es ist klar. Danke, ansonsten frage ich nachher nochmal nach =)
LG Informacao
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Huhu,
da fällt mir noch eine Frage ein: Was ist denn, wenn ich beispielsweise beim Vorzeichenwechsel die Zahlen 0 und 4 oder auch 0 und -4 raushabe.
Ist es dann ein Extremum?
Also als was wird die 0 gesehen?
LG Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 25.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Wie meinst du das genau?
Meinst du, wenn die Ableitungsfunktion 2 Nullstellen hat?
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Das war aber keine Antwort 
Nein, ich meine wenn das Ergebnis des Vorzeichenwechsels einmal 0 ist und einmal eine andere Zahl.
Habe ja gelernt, dass es NUR DANN Extremstellen gibt, wenn die Ergebnisse einmal positiv und einmal negativ sind. Aber wenn da aufeinmal eine Null ist?
Was dann?
LG Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 25.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Dann musst Du für den Nachweis des Vorzeichenwechsels einen anderen x-Wert wählen; nämlich einer der näher an der zu untersuchenden Stelle liegt.
Denn mit dem Wert 0 bist Du ja sonst bereits bei dem nächsten Extremwert-Kandidaten gelandet.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 So 25.02.2007 | | Autor: | Informacao |
Ok, dann habe ich das verstanden.
Danke
LG Informacao
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Vielleicht sollte man hier noch anmerken, dass es eine einfachere und weniger umständlichere Methode gibt, um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt und ob es ein Maximale oder Minimale ist.
Und zwar setzt du einfach in die 2. Ableitung den x-Wert der Extremstelle ein.
Wenn die 2.Ableitung > 0 dann handelt es sich um eine minimale und wenn sie < 0 ist, um eine maximale Extremstelle. Falls sie 0 sein sollte, hast du sogar einen Beweis für einen Sattelpunkt.
Wenn ich falsch liegen sollte, oder sonst etwas nicht stimmen sollte, dann sagt es mir bitte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 25.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Ist richtig, aber sie sollen sicher erstmal den Vorzeichenwechsel machen ;)
Das mit der 2. Ableitung ist oft einfacher, aber wenn man eine Funktion hat, bei der man keine Wendepunkte braucht (=keine 2. Ableitung braucht) und es zu mühsam wäre, die nochmal abzuleiten, könnten man auch einfach auf den VZW zurückgreifen :)
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