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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, F stetig, und Dichtefunktion f. Zeige:
[mm] $F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F(x)]^{n}$ [/mm] |
[mm] \textit{Hallo, liebes Forum!}
[/mm]
Im Grunde kann das nicht so schwer sein, denn aus der Vorlesung und von früheren Übungsblättern weiß ich, daß:
(i) [mm] $F_{X_{(i)}}(x)=P(X_{(i)}\leq x)=\sum_{j=i}^{n}\binom{n}{j}[F(x)]^{j}[1-F(x)]^{n-j}$
[/mm]
(ii) [mm] $f_{X_{(i)}}(x)=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}f(x)[F(x)]^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}$
[/mm]
Trotzdem komme ich gerade nicht zurecht.
Aus (i) folgt jedenfalls schonmal, daß
[mm] $F_{X_{(1)}}(x)=\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}[F(x)]^{j}[1-F(x)]^{n-j}$.
[/mm]
Das ist bis jetzt mein (kümmerlicher) Anfang.
Wer kann mir weiterhelfen?
Ich glaube, ich habe Riesentomaten auf den Augen. 
[mm] \textit{Viele Grüße}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 03.05.2012 | | Autor: | luis52 |
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> Wer kann mir weiterhelfen?
> Ich glaube, ich habe Riesentomaten auf den Augen.
>
>
Nicht unbedingt: [mm] $\min\{X_1,\dots,X_n\}=-\max\{-X_1,\dots,-X_n\}$.
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 03.05.2012 | | Autor: | luis52 |
)
>$ [mm] F_{X_{(1)}}(x)=\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}[F(x)]^{j}[1-F(x)]^{n-j} [/mm] $.
Noch ein Tipp: Nutze Eigenschaften der Binomialverteilung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich kann Deine beiden Tipps leider nicht anwenden.
Wie meinst Du denn das?
[mm] \textbf{Edit: Vorschlag}
[/mm]
Es bezeichne Y die Zufallsvariable, die die Anzahl der [mm] $X_i$ [/mm] aus [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] angibt, die die fest vorgegebene Zahl x nicht übertreffen, d.h.
[mm] $Y=\sum_{i=1}^{n}\chi_{[X_i\leq x]}$
[/mm]
[mm] ($\chi$ [/mm] bezeichne die Indikatorfkt.)
Y ist dann als Summe unabhängiger bernouilliverteilter ZV binomialverteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=F(x)$ und Anzahl n.
Es gilt: [mm] $X_{(k)}\leq x\Leftrightarrow Y\geq [/mm] k$
Und damit:
[mm] $F_{X_{(k)}}(x)=P(X_{(k)}\leq x)=P(Y\geq k)=\sum_{i=k}^{n}\binom{n}{i}F(x)^{i}(1-F(x))^{n-i}$
[/mm]
Für meine Aufgabebe habe ich mir das jetzt so gedacht:
[mm] $F_{X_{(1)}}(x)=P(Y\geq 1)=1-P(Y<1)=1-P(Y=0)=1-\binom{n}{0}F(x)^0(1-F(x))^{n}=1-(1-F(x))^n$
[/mm]
Wäre das ein Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Diese Lösungsidee mit der ZV Y kam so in der Vorlesung vor und findet sich auch bei Büning/Trenkler.
Ich wüsste gerne, ob mein Beweis so korrekt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 03.05.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Wäre das ein Beweis?
>
>
Sogar ein sehr schoener. 
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Juhu, ich freu mich.
Danke fürs Bestätigen-
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