W-Räume, W-Maß, Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich arbeite mich gerade in das Themengebiet der Stochastik ein. Nur komme ich damit noch nciht ganz zu recht. An einer Aufgabe beschäftigen mich folgende Fragen..
Es sind in der Aufgabe zwei diskrete W-Räume gegeben. Ein W-Raum sei [mm] \IN_5,P_2)[/mm].. Eine Frage dazu: [mm] \IN_5[/mm].. ist die Menge für den Ausgangsraum und [mm] P_2 [/mm] das W-Maß, richtig?
Des Weiteren spricht man davon, dass der W-Raum [mm] P_2 [/mm] die diskrete Gleichverteilung über
[mm] \IN_5[/mm] ist.. Was bedeutet das genau? Etwa [mm] P_2:={1,2,3,4,5} [/mm] ?
Des Weiteren werden Ereignisse definiert, wie z.B Ereignis A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}..
Nun soll das Produktmaß bestimmt werden.
In meinem Fall [mm]P_1 \otimes P_2(A)[/mm] = ? hier komme ich auch nicht weiter..
Danke erstmal
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme einmal an, dass [mm] $\Omega=\IN_5=\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] der unterliegendende Raum ist, der mit der [mm] $\sigma$-Algebra ${\cal P}(\IN_5)$ [/mm] versehen ist, also der Potenzmenge. Mit anderen Worten: Jede Teilmenge von [mm] $\IN_5$ [/mm] ist ein Ereignis.
Nun versehen wir diesen Messraum mit dem folgenden Maß
[mm] $P_2(A) [/mm] = [mm] \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} [/mm] = [mm] \frac{\vert A \vert}{5}$,
[/mm]
also mit der Gleichverteilung, wobei [mm] $\vert [/mm] A [mm] \vert$ [/mm] die Mächtigkeit der Menge $A$ ($A$ ist hier eine beliebige Teilmenge von [mm] $\Omega=\IN_5$) [/mm] beschreibt. Dies entspricht gerade der Laplace-Wahrscheinlichkeit auf diesem Raum, d.h. die Gleichverteilung ist durch die umgangssprachliche Formel "günstige Fälle durch mögliche Fälle" gegeben.
Man kann sich überlegen, dass [mm] $P_2$ [/mm] durch die Angabe von
[mm] $P(\{i\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{5}$
[/mm]
für $i=1,2,3,4,5$ auf Grund der Additivität von [mm] $P_2$ [/mm] bereits eindeutig bestimmt ist.
Nun noch zum Produktmaß. Formal ist es ja erklärt als das eindeutig bestimmte W-Maß [mm] $P_2 \otimes P_2$ [/mm] auf [mm] ${\cal P}(\IN_5) \otimes {\cal P}(\IN_5) [/mm] = [mm] {\cal P}(\IN_5 \times \IN_5)$ [/mm] mit
[mm] $(P_2 \otimes P_2) (A_1 \times A_2) [/mm] = [mm] P_2(A_1) \cdot P_2(A_2)$
[/mm]
mit [mm] $A_1,A_2 \in {\cal P}(\IN_5)$.
[/mm]
Man kann sich überlegen, dass
[mm] $(P_2 \otimes P_2)(A) [/mm] = [mm] \frac{\vert A \vert}{25}$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Mein Produktmaß ist nur im Falle [mm] $P_1=P_2$, [/mm] auf dem gleichen Messraum, gültig. Da du ja [mm] $P_1$ [/mm] nicht angibst, konnte ich die Formel für [mm] $P_1 \otimes P_2$ [/mm] nicht nennen. Aber auch hier gilt: [mm] $P_1 \otimes P_2$ [/mm] ist das eindeutig bestimmte W-Maß mit
[mm] $(P_1 \otimes P_2)(A_1 \times A_2) [/mm] = [mm] P_1(A_1) \cdot P_2(A_2)$,
[/mm]
das du in deinem Fall dann vielleicht noch expliziter charakterisieren kannst.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo
Ich nehme einmal an, dass [mm] \Omega=\IN_5=\{1,2,3,4,5\}[/mm] der unterliegendende Raum ist, der mit der [mm] \sigma $-Algebra $ {\cal P}(\IN_5) [/mm] versehen ist, also der Potenzmenge. Mit anderen Worten: Jede Teilmenge von $ [mm] \IN_5 [/mm] $ ist ein Ereignis.
Das ist richtig.. Also ist mit [mm] \Omega=\IN_5=\{1,2,3,4,5\}[/mm] die diskrete Gleichverteilung für $ [mm] \IN_5 [/mm] $ gezeigt...
Nun versehen wir diesen Messraum mit dem folgenden Maß
$ [mm] P_2(A) [/mm] = [mm] \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} [/mm] = [mm] \frac{\vert A \vert}{5} [/mm] $,
also mit der Gleichverteilung, wobei $ [mm] \vert [/mm] A [mm] \vert [/mm] $ die Mächtigkeit der Menge $ A $ ($ A $ ist hier eine beliebige Teilmenge von $ [mm] \Omega=\IN_5 [/mm] $) beschreibt. Dies entspricht gerade der Laplace-Wahrscheinlichkeit auf diesem Raum, d.h. die Gleichverteilung ist durch die umgangssprachliche Formel "günstige Fälle durch mögliche Fälle" gegeben.
Man kann sich überlegen, dass $ [mm] P_2 [/mm] $ durch die Angabe von
$ [mm] P(\{i\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{5} [/mm] $
für $ i=1,2,3,4,5 $ auf Grund der Additivität von $ [mm] P_2 [/mm] $ bereits eindeutig bestimmt ist.
wieso bietet sich hier die Laplace-Warscheinlichkeit an? Das will mir nicht einleuchten. Das Maß für die Laplace-Warscheinlichkeit ist klar und so definiert.. aber wie entscheide ich in diesem Fall die "günstigsten Fälle"?
und das das dann $ [mm] P(\{i\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{5} [/mm] $ will mir nun auch nicht so direkt einleuchten!?
Es gilt das Produktmaß $ [mm] (P_2 \otimes P_2) (A_1 \times A_2) [/mm] = [mm] P_2(A_1) \cdot P_2(A_2) [/mm] $ , Soweit ok
[mm] P_1 [/mm] ist wie folgt definiert
[mm] P_1({1}) = 1/4, P_1({1}) = 1/4, P_2({2}) = 0 ,P_3({3}) = 1/2 P_4({4}) = 1/4 [/mm]
Was ist denn nun [mm]P_1( \IN_4)[/mm]?
Irgendwie hapert es da noch ziemlich...
danke shcon einmal
Grüsse
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Hallo Fruchtsaft,
> Ich nehme einmal an, dass [mm]\Omega=\IN_5=\{1,2,3,4,5\}[/mm] der
> unterliegendende Raum ist, der mit der [mm]\sigma $-Algebra $ {\cal P}(\IN_5)[/mm]
> versehen ist, also der Potenzmenge. Mit anderen Worten:
> Jede Teilmenge von [mm]\IN_5[/mm] ist ein Ereignis.
>
> Das ist richtig.. Also ist mit [mm]\Omega=\IN_5=\{1,2,3,4,5\}[/mm]
> die diskrete Gleichverteilung für [mm]\IN_5[/mm] gezeigt...
Was heißt gezeigt? In der Aufgabenstellung steht ja, was [mm] $\Omega$ [/mm] sein soll, und dass wir darauf eine Gleichverteilung betrachten sollen.
> Nun versehen wir diesen Messraum mit dem folgenden Maß
>
> [mm]P_2(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert A \vert}{5} [/mm],
>
> also mit der Gleichverteilung, wobei [mm]\vert A \vert[/mm] die
> Mächtigkeit der Menge [mm]A[/mm] ([mm] A[/mm] ist hier eine beliebige
> Teilmenge von [mm]\Omega=\IN_5 [/mm]) beschreibt. Dies entspricht
> gerade der Laplace-Wahrscheinlichkeit auf diesem Raum, d.h.
> die Gleichverteilung ist durch die umgangssprachliche
> Formel "günstige Fälle durch mögliche Fälle" gegeben.
> Man kann sich überlegen, dass [mm]P_2[/mm] durch die Angabe von
> [mm]P(\{i\}) = \frac{1}{5}[/mm]
> für [mm]i=1,2,3,4,5[/mm] auf Grund der
> Additivität von [mm]P_2[/mm] bereits eindeutig bestimmt ist.
>
> wieso bietet sich hier die Laplace-Warscheinlichkeit an?
Die Aufgabe gibt ja eine diskrete Gleichverteilung auf der Menge [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] vor. Das heißt jedes [mm] $i\in\Omega$ [/mm] soll mit der gleichen Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperimentes sein (vielleicht denkst Du Dir ein Glücksrad mit 5 gleich großen Segmenten, die von 1 bis 5 nummeriert sind). Also gilt
[mm] $P(\{i\})=1/5$,
[/mm]
da [mm] $P(\Omega)=P(\{1,2,3,4,5\})=\sum\limits_{i=1}^5 P(\{i\}) [/mm] =1$ ergeben muss und die Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(\{i\})$ [/mm] konstant sein sollen.
> Das will mir nicht einleuchten. Das Maß für die
> Laplace-Warscheinlichkeit ist klar und so definiert.. aber
> wie entscheide ich in diesem Fall die "günstigsten Fälle"?
Na ja, die günstigen Fälle sind durch das Ereignis $A$ vorgegeben. Zum Beispiel gilt für A: "ungerade Zahl", also [mm] A=\{1,3,5\}, [/mm] Folgendes:
[mm] $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{5}.$
[/mm]
Du zählst einfach nur die Anzahl der Elemente von A, die zum betrachteten Ereignis gehören.
> Es gilt das Produktmaß [mm](P_2 \otimes P_2) (A_1 \times A_2) = P_2(A_1) \cdot P_2(A_2)[/mm]
> , Soweit ok
>
> [mm]P_1[/mm] ist wie folgt definiert
> [mm]P_1({1}) = 1/4, P_1({1}) = 1/4, P_2({2}) = 0 ,P_3({3}) = 1/2 P_4({4}) = 1/4[/mm]
Hier hast Du Dich wohl verschrieben. Du solltest doch nur [mm] $P_1$ [/mm] angeben, und nicht [mm] $P_2$, $P_3$ [/mm] und [mm] $P_4$. [/mm] Bitte überprüfe Deine Eingabe noch mal. Wenn ich jedes Mal [mm] $P_1$ [/mm] lese, dann schließe ich aus Deinen Angaben [mm] $P_1(\{5\})=0$.
[/mm]
> Was ist denn nun [mm]P_1( \IN_4)[/mm]?
[mm] $P_1( \IN_4)=P_1(\{1,2,3,4\})=\sum\limits_{i=1}^4 P(\{i\})=1/4+1/2+1/4=1.$
[/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Alles Klar.. ich hatte mich in den einem Punkt verschrieben. es gibt natürlich nur ein [mm]P_1[/mm]..
Danke für die Ausführungen..
Gruss
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