W-rechnung und Vierfeldertafel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | In einem Vergewaltigungsfall, der in den Medien für Schlagzeilen sorgte, kommt es zum Prozess. Am Tatort waren DNA-Spuren des Täters gefunden worden, und bei einem genetischen Massentest ist den Strafverfolgern ein Verdächtiger ins Netz gegangen, dessen "genetischer Fingerabdruck" mit dem am Tatort gefundenen übereinstimmt. Es gibt ansonsten keine verwertbaren Zeugen und Indizien - theoretisch kommen zehn Millionen Männer als Täter infrage. Der Inhaber des genetischen Labors wird als Gutachter vor Gericht geladen und erklärt den Richtern und Geschworenen, wie präzise der von ihm verwendete Test ist:
"Die DNA eines beliebig aus der Bevölkerung herausgegriffenen Mannes hat nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0001 Prozent der Fälle dasselbe Profil wie das, welches am Tatort gefunden wurde. Und unser Test würde diese Übereinstimmung praktisch mit Sicherheit zeigen. Umgekehrt irrt sich der Test nur in 0,001 Prozent der Fälle und zeigt eine Übereinstimmung an, wenn das Profil eigentlich verschieden ist."
Schuldig oder nicht schuldig? |
In 0,0001% der Fälle zeigt der Test dasselbe Profil an wie das, welches am Tatort gefunden wurde. Das sind 10 bei 10 Mio. Verdächtigen. Bei den restlichen 9 999 990 Mio. mit verschiedenem Profil gibt er in 0,001% der Fälle Fehlalarm, das sind wiederum 99,9999 Fälle. Bei 10 Mio. Tests würde man 109,9999 Mal dieselbe DNA feststellen. Da nur einer der Täter ist, ist die Wahrscheinlichkeit bei positivem Tests den richtigen getroffen zu haben 1,09999%. --> Nicht schuldig.
Stimmt das und kann man das i-wie als Vierfeldertafel darstellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand eine Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Sind meine Ausführungen richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> In einem Vergewaltigungsfall, der in den Medien für
> Schlagzeilen sorgte, kommt es zum Prozess. Am Tatort waren
> DNA-Spuren des Täters gefunden worden, und bei einem
> genetischen Massentest ist den Strafverfolgern ein
> Verdächtiger ins Netz gegangen, dessen "genetischer
> Fingerabdruck" mit dem am Tatort gefundenen übereinstimmt.
> Es gibt ansonsten keine verwertbaren Zeugen und Indizien -
> theoretisch kommen zehn Millionen Männer als Täter
> infrage. Der Inhaber des genetischen Labors wird als
> Gutachter vor Gericht geladen und erklärt den Richtern und
> Geschworenen, wie präzise der von ihm verwendete Test
> ist:
>
> "Die DNA eines beliebig aus der Bevölkerung
> herausgegriffenen Mannes hat nur mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 0,0001 Prozent der Fälle dasselbe
> Profil wie das, welches am Tatort gefunden wurde. Und unser
> Test würde diese Übereinstimmung praktisch mit Sicherheit
> zeigen. Umgekehrt irrt sich der Test nur in 0,001 Prozent
> der Fälle und zeigt eine Übereinstimmung an, wenn das
> Profil eigentlich verschieden ist."
>
> Schuldig oder nicht schuldig?
>
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> In 0,0001% der Fälle zeigt der Test dasselbe Profil an wie
> das, welches am Tatort gefunden wurde. Das sind 10 bei 10
> Mio. Verdächtigen. Bei den restlichen 9 999 990 Mio. mit
> verschiedenem Profil gibt er in 0,001% der Fälle
> Fehlalarm, das sind wiederum 99,9999 Fälle. Bei 10 Mio.
> Tests würde man 109,9999 Mal dieselbe DNA feststellen. Da
> nur einer der Täter ist, ist die Wahrscheinlichkeit bei
> positivem Tests den richtigen getroffen zu haben 1,09999%.
> --> Nicht schuldig.
>
> Stimmt das und kann man das i-wie als Vierfeldertafel
> darstellen?
Dies ist nicht die Wahrscheinlichkeit, den richtigen getroffen zu haben, sondern die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis.
Diese Wahrscheinlichkeit ist $109,9999 * [mm] 10^{-7} [/mm] = 109,9999 [mm] *10^{-5} \% [/mm] = 0,00109999 [mm] \%$.
[/mm]
Dies kann man sich auch so überlegen:
Der Test ist genau bei einem der beiden folgenden disjunkten Ereignissen positiv:
Der getestete hat dasselbe Profil.
Der getestete hat ein anderes Profil und der Test gibt Fehlalarm.
Dies ergibt:
[mm] $10^{-6}+(1-10^{-6})*10^{-5}=10^{-6}+10^{-5}-10^{-11}=(10^{-4}+10^{-3}-10^{-9})\%\approx 0,0011\%$.
[/mm]
Die Vierertafel eignet sich nur bei voneinander unabhängigen Ereignissen. Aber die Ereignisse
Test liefert richtiges Ergebnis
Die Profile stimmen überein.
sind nicht voneinander unabhängig: Stimmen die Profile überein, so liefert der Test mit Wahrscheinlichkeit $1$ das richtige Ergebnis, stimmen die Profile nicht überein, so liefert der Test mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $1-10^{-5}$ [/mm] das richtige Ergebnis.
Grüße,
Wolfgang
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