WSK beim Kugeltausch < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Urne A enthält vier weiße und Urne B vier schwarze Kugeln. Aus jeder Urne
wird eine Kugel zufällig entnommen und in die andere Urne gelegt. Dieser
Vorgang wird dreimal durchgeführt. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten
dafür, dass die Urne A am Ende 0, 1, 2, 3 bzw. 4 weiße Kugeln enthält. |
0 ist klar, denn da wir nur dreimal ziehen ist diese WSK=0.
Bei 1-4 liegt mein Problem darin, dass ich mir einfach nicht vorstellen kann wie ich das berechnen soll!
Für 4 hab ich mir folgendes überlegt:
Zunächst einmal sind doch nach dem ersten Tausch in Urne A 3w und 1s und in Urne B 3s und 1w.
Beim zweiten ziehen vertausche ich entweder noch eine oder mache die Vertauschung rückgängig und da ich im dritten doch wieder Kugeln vertausche ist die WSK da doch auch null oder?
Für 1 hab ich dann:
Der erste Tausch bleibt gleich!
Beim zweiten hab ich für die Urne A doch eine WSK von 1/4 die schwarze zu ziehen und für Urne B ebenfalls 1/4 die weiße zu ziehen.
Also tausch ich doch mit einer WSK von 1/16 die Kugeln zurück und somit tausche ich mit einer WSK von 15/16 eine weitere w Kugel gegen eine s oder ?
Beim letzten Tausch ergibt sich doch dann, damit eine weiße Kugel übrig bliebt eine WSK von 1/4 eine weitere w Kugel gegen eine s auszutauschen und somit eine Gesamtwsk von 15/64 1 weiße Kugel in Urne A zu behalten, oder?
Sind diese Gedankengänge richtig?
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> Urne A enthält vier weiße und Urne B vier schwarze Kugeln.
> Aus jeder Urne
> wird eine Kugel zufällig entnommen und in die andere Urne
> gelegt. Dieser
> Vorgang wird dreimal durchgeführt.
Hm, drei mal. Na, das geht ja noch...
> Man berechne die
> Wahrscheinlichkeiten
> dafür, dass die Urne A am Ende 0, 1, 2, 3 bzw. 4 weiße
> Kugeln enthält.
> 0 ist klar, denn da wir nur dreimal ziehen ist diese
> WSK=0.
>
> Bei 1-4 liegt mein Problem darin, dass ich mir einfach
> nicht vorstellen kann wie ich das berechnen soll!
Solltst Du nicht einfach ein Baumdiagramm zeichnen? An der Wurzel hast Du den Anfangszustand (in A vier weisse Kugeln). An den Blättern hast Du die jeweils möglichen Endzustände mit den entsprechenden Anzahlen weisser Kugeln in A. Du musst also nur die Anzahl weisser Kugeln in A als für den Zustand des Systems relevant unterscheiden. Du kannst dann einfach die Wahrscheinlichkeiten zu einem Blatt mit k weissen Kugeln in A zu landen, durch Aufsummieren der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein solches Blatt zu erreichen berechnen.
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Danke schon mal für die Hilfestellung!
Allerdings sollen wir das ganze Rechnerisch formal auflösen! Hast du dafür vielleicht auch nen kleinen Tip?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 01.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Danke schon mal für die Hilfestellung!
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> Allerdings sollen wir das ganze Rechnerisch formal
> auflösen! Hast du dafür vielleicht auch nen kleinen Tip?
Falls Du eine Frage stellen willst, solltest Du keine Mitteilung schreiben sondern .. eine Frage. Wenn Deine blossen Mitteilungen einfach ignoriert werden, brauchst Du Dich nicht zu wundern.
Zum einen ist es natürlich immer möglich, das, was man in einem Baumdiagramm ablesen kann, auch formal hinzuschreiben. Das Baumdiagramm sorgt einfach dafür, dass Du Dich beim gedanklichen Durchbuchstabieren der verschiedenen Fälle nicht zu sehr verhedderst.
Zum anderen (Markov Prozess): Du könntest natürlich die Wahrscheinlichkeiten, dass nach [mm]n[/mm] "Ziehen und Vertauschen"-Schritten genau [mm]k=0,1,2,3,4[/mm] weisse Kugeln in [mm]A[/mm] sind, als einen Vektor [mm]\vec{p}[/mm] von Wahrscheinlichkeiten schreiben und die Wirkung eines einmaligen "Ziehen und Vertauschen"-Schrittes auf diesen Vektor mittels einer [mm]4\times 4[/mm]-Matrix, sagen wir dieser Matrix [mm]T[/mm], erfassen. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten nach [mm]n[/mm] Wiederholungen wären dann [mm]\vec{p}=T^n \vec{p}_0[/mm]. Wobei [mm]\vec{p}_0[/mm] der Vektor der Anfangswahrscheinlichkeiten ist.
Das verbleibende Problem wäre also nur, die Einträge in der fraglichen Matrix [mm]T[/mm] zu bestimmen. Diese Einträge sind einfach bedingte Wahrscheinlichkeiten: [mm]t_{ik}[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Vertauschungsschritt genau [mm]i[/mm] weisse Kugeln in [mm]A[/mm] sind, falls vor diesem Schritt genau [mm]k[/mm] weisse Kugeln in [mm]A[/mm] waren.
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Danke für die Hilfestellung! Das hat geholfen!
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