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Hallo,
also ich habe ein paar fragen zum Thema Wachstum:
Die Formel für das lineare Wachstum lautet ja
B(t) = m * t + B(0)
dabei ist m die Änderungsrate; t die Zeit und B(0) der Anfangsbestand
die Änderungsrate ist konstant
soweit klar für mich
Änderunsrte konstant => f' (t) = K => f(t) = k*t+c
was bedeutet das und wie erfolgt die Umformung?
Exponentielles Wachstum:
b(t) = b(0) * [mm] a^t
[/mm]
die Änderungsrate ist proportianal zum bestand, was heißt das??
f'(t) [mm] \approx [/mm] f(t)
das versteh ich leider nicht
Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate proprtional zum Sättigungsmanko
Wäre schön, wenn mir das jemand erklären kann.
Außerdem gibt es irgendwie noch eine differenzialgleichung zum jeweiligen Wachstum, kennt die jemand??
Gruß
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Julia,
> Hallo,
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> also ich habe ein paar fragen zum Thema Wachstum:
>
> Die Formel für das lineare Wachstum lautet ja
> B(t) = m * t + B(0)
>
> dabei ist m die Änderungsrate; t die Zeit und B(0) der
> Anfangsbestand
> die Änderungsrate ist konstant
> soweit klar für mich
>
> Änderunsrte konstant => f' (t) = K => f(t) = k*t+c
> was bedeutet das und wie erfolgt die Umformung?
Da du einen Mathe Background von LK13 angegeben hast, denke ich du weisst, dass die Änderungsrate, also die Steigung, die erste Ableitung einer Funktion ist. Bei linearem Wachstum ist die Steigung eine konstante Zahl, hier mit K benannt, d.h. das Wachstum hängt nicht von t ab. Und wenn du f'(t)=K auf beiden Seiten nach t integrierst, kommst du auf f(t)=K*t+c, wobei f die Stammfunktion von f' ist und c dem B(0) von oben entspricht.
f'(t)=K ist übrigens schon die Differentialgleichung für das lineare Wachstum, nach der du weiter unten gefragt hast.
Ein Beispiel für lineares Wachstum: Telefonrechnung: 10 Grundgebühr plus 12 Cent pro Minute. Kosten f, in Abhängigkeit von Minuten t: f(t)= 0,12*t+10
>
> Exponentielles Wachstum:
> b(t) = b(0) * [mm]a^t[/mm]
> die Änderungsrate ist proportianal zum bestand, was heißt
> das??
Was Änderungsrate, Bestand und proportional bedeuten, solltest du inzwischen wissen,proportional kannst du auch in der Wikipedia nachlesen. In Formeln ausgedrückt ist das die DGL für exponentielles Wachstum.
Das heisst:
f'(t)=k*f(t),
wobei k eine Konstante ist (nicht von t abhängt), das Wachstum insgesamt aber schon, da f von t abhängt.
Dein Wachstum hängt von dem aktuellen Bestand (und der von der Zeit t) ab. Leiten wir b(t) mal ab:
[mm] b(t)=b(0)*a^t=b(0)*e^{t*\ln(a)} [/mm] diese Umformung kennst du nehme ich an.
[mm] b'(t)=b(0)*e^{t*\ln(a)}*\ln(a)=\underbrace{\ln(a)}_{=k}*b(0)*a^t
[/mm]
du siehst, das dein Wachstum von t abhängt.
Ein Beispiel: Bakterienkulturen:
wenn aus 1 Bakterie nach 30min 2 geworden sind, hast du nach 10 h 2^20, wenn du mit einer geststartet bist.
Wenn du mit b(0)=500 Stück startest, hast du also nach t Stunden: [mm] b(t)=500*2^{2*t}=500*4^t
[/mm]
>
> f'(t) [mm]\approx[/mm] f(t)
> das versteh ich leider nicht
Das soll vermutlich [mm] f'(t)\sim [/mm] f(t) heissen und ist nur die abkürzende Schreibweise für f'(t) (die Änderungsrate) ist proportional zu f(t) (dem Bestand).
>
> Beim beschränkten Wachstum ist die Änderungsrate
> proprtional zum Sättigungsmanko
> Wäre schön, wenn mir das jemand erklären kann.
Beim beschränkten Wachstum gibt es eine Obergerenze, die das Wachstum beschränkt, z.B. wenn die Bakterien in einer Pertrischale wachsen (die nur begrenzt Platz hat).
Das Sättigungsmanko S-b(t) ist die Menge, die dem Bestand b(t) noch bis zum erreichen der Obergrenze S fehlt.
Aus dem obengesagten erhält man die DGL:
b'(t)=k*(S-b(t)) deren Lösung dann die Formel des Bestandes in abhängigkeit der Zeit t ist:
[mm] \gdw \bruch{b'(t)}{S-b(t)}=k
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{}{\bruch{b'(t)}{S-b(t)}dt}=\integral_{}^{}{kdt}
[/mm]
das linke Integral löst man durch Substitution y=S-b(t), die Integrationskonstanten, die bei beiden Stammfkt. entstehen, kann man zu einer zusammenfassen. Sie hängt davon ab, welchen Anfangsbestand b(0) man hat.
[mm] \gdw -\ln(S-b(t))=k*t+c
[/mm]
[mm] \gdw b(t)=S-e^{-k*t-c}
[/mm]
je nach Anfangsbestand b(0), k und Obergrenze S kann man nach c auflösen und hat dann die entsprechende Formel für b(t).
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> Außerdem gibt es irgendwie noch eine differenzialgleichung
> zum jeweiligen Wachstum, kennt die jemand??
>
siehe oben.
> Gruß
> Julia
Alles klar? 
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 21.06.2006 | | Autor: | juliaharti |
Danke für deine Hilfe.
Liebe Grüße
Julia
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