Wachstum mit Vollst. Ind. bew. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Für welche [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] 3^{n} [/mm] > [mm] n^{2}+6 [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich hänge gerade an dem Beweis für das Wachstum der Reihen mittels vollständiger Induktion.
Zunächst der Induktions-Anfang, hier habe ich einfach eine kleine Tabelle erstellt und einzelne Werte für n berechnet. Dabei stellte sich heraus, das die Ungleichung
[mm] 3^{n} [/mm] > [mm] n^{2}+6
[/mm]
gilt, wenn [mm] n\ge3 [/mm] ist.
Jetzt folgt ja der Induktionsschritt, bei welchem ich nicht so weiter komme. Zunächst wird anstatt n (n+1) eingesetzt:
[mm] 3^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^{2}+6
[/mm]
[mm] 3*3^{n} [/mm] > [mm] n^{2}+2n+1+6
[/mm]
[mm] 3*3^{n} [/mm] > [mm] n^{2}+2n+7
[/mm]
Soweit sollte denke ich alles richtig sein. Jetzt fehlt mir nur irgendwie die passende Idee wie es weiter gehen soll. Mir fällt in diesem Zusammenhang der Begriff "abschätzen" ein, allerdings weiß ich nicht, wie mir das hier weiter hilft *g*
Ich freue mich über eure Antworten.
Viele Grüße,
Kalka
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Für welche [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]3^{n}[/mm] > [mm]n^{2}+6[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich hänge gerade an dem Beweis für das Wachstum der
> Reihen mittels vollständiger Induktion.
>
> Zunächst der Induktions-Anfang, hier habe ich einfach eine
> kleine Tabelle erstellt und einzelne Werte für n
> berechnet. Dabei stellte sich heraus, das die Ungleichung
>
> [mm]3^{n}[/mm] > [mm]n^{2}+6[/mm]
>
> gilt, wenn [mm]n\ge3[/mm] ist.
>
> Jetzt folgt ja der Induktionsschritt, bei welchem ich
> nicht so weiter komme. Zunächst wird anstatt n (n+1)
> eingesetzt:
>
> [mm]3^{n+1}[/mm] > [mm](n+1)^{2}+6[/mm]
> [mm]3*3^{n}[/mm] > [mm]n^{2}+2n+1+6[/mm]
> [mm]3*3^{n}[/mm] > [mm]n^{2}+2n+7[/mm]
der Gültigkeit von
Hallo,
das ist die Induktionsbehauptung, zu der du erst kommen willst.
Du hast die Induktionsvoraussetzung und kannst also von
[mm] 3^n>n^2+6 [/mm] ausgehen.
Beidseitige Multiplikation mit 3 liefert
[mm] 3^{n+1}>3n^2+18
[/mm]
Jetzz wäre es sinnvoll, auf der rechten Seite deinen dort gewünshten Term [mm] n^2+2n+7 [/mm] stehen zu haben. [mm] n^3 [/mm] steckt als Summand in [mm] 3n^3 [/mm] drin [mm] (n^2+2n^2), [/mm] und 7 steckt in 18 (7+11=18).
n haben wir leider gar nicht (also wir haben 0n), das schreiben wir als "+2n-2n".
Aus [mm] 3^{n+1}>3n^2+18 [/mm] wird also [mm] 3^{n+1}>n^2+2n+7 +2n^2-2n+11 [/mm] (das ist immer noch die mit 3 multiplizierte Induktionsvoraussetzung!)
Wenn u jetzt noch zeigen kannst, dass [mm] 2n^2-2n+11 [/mm] für alle n positiv ist, dann folgt aus
[mm] 3^{n+1}>n^2+2n+7 +(2n^2-2n+11) [/mm] erst recht [mm] 3^{n+1}>n^2+2n+7.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Soweit sollte denke ich alles richtig sein. Jetzt fehlt mir
> nur irgendwie die passende Idee wie es weiter gehen soll.
> Mir fällt in diesem Zusammenhang der Begriff "abschätzen"
> ein, allerdings weiß ich nicht, wie mir das hier weiter
> hilft *g*
>
> Ich freue mich über eure Antworten.
>
> Viele Grüße,
> Kalka
>
> PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey,
vielen Dank, das habe ich soweit verstanden. Allerdings an einer Stelle weiß ich nicht so recht wie ich das verstehen soll *g*
du sagtest, wenn ich beweise, dass der Term [mm] 2n^{2}-2n+11 [/mm] > 0 ist,
> , dann folgt aus
> [mm]3^{n+1}>n^2+2n+7 +(2n^2-2n+11)[/mm] erst recht
> [mm]3^{n+1}>n^2+2n+7.[/mm]
Das verstehe ich nicht ganz. Schließlich ist [mm] (2n^2-2n+11) [/mm] doch dann größer als 0 und könnte die Ungleichung doch kippen, oder? Wäre der Term [mm] (2n^2-2n+11) [/mm] negativ, dann würde er die kleine Seite doch nur noch kleiner machen, und die Ungleichung damit nicht verändern.
Wo liegt da mein Denkfehler?
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hey,
> vielen Dank, das habe ich soweit verstanden. Allerdings an
> einer Stelle weiß ich nicht so recht wie ich das verstehen
> soll *g*
>
> du sagtest, wenn ich beweise, dass der Term [mm]2n^{2}-2n+11[/mm] >
> 0 ist,
>
> > , dann folgt aus
> > [mm]3^{n+1}>n^2+2n+7 +(2n^2-2n+11)[/mm] erst recht
also: obwohl zu [mm] n^2+2n+7 [/mm] noch ein zusätzlicher positiver Summand [mm] (2n^2-2n+11) [/mm] kommt,
bleibt dieses Ergebnis kleiner als [mm] 3^{n+1}
[/mm]
> > [mm]3^{n+1}>n^2+2n+7.[/mm]
Wenn diese positive Summand nicht da ist, ist die rechte Seite ja noch kleiner.
Das hätte ich als Ungleichungskette schreiben können.
Aus [mm] (2n^2-2n+11)>0 [/mm] (was noch zu zeigen wäre) folgt
[mm] n^2+2n+7+(2n^2-2n+11)>n^2+2n+7
[/mm]
Vorher haten wir schon
[mm] 3^{n+1}>n^2+2n+7 +(2n^2-2n+11)
[/mm]
Beides zusammen ergibt
[mm] 3^{n+1}>n^2+2n+7 +(2n^2-2n+11)>n^2+2n+7
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Schließlich ist [mm](2n^2-2n+11)[/mm]
> doch dann größer als 0 und könnte die Ungleichung doch
> kippen, oder? Wäre der Term [mm](2n^2-2n+11)[/mm] negativ, dann
> würde er die kleine Seite doch nur noch kleiner machen,
> und die Ungleichung damit nicht verändern.
>
> Wo liegt da mein Denkfehler?
>
> Viele Grüße,
> Kalka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey,
nochmals vielen Dank für deine Erklärung. Jetzt habe ich alles soweit verstanden. Zu zeigen, dass [mm] (2n^2-2n+11)>0 [/mm] ist schaffe ich alleine, denk ich ;)
Vielen Dank,
Kalka
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