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Hallo !
Hier gibt's eine weitere Aufgabe, die ich auf meinem Übungszettel bis morgen bearbeiten muss:
Aufgabe 2.
Ein [mm] cm^{3} [/mm] Kuhmilch enthielt eine Stunde nach dem Melken 800 Keine, nach zwei weiteren Stunden werden bereits 3.200 Keime gezählt.
2.1 Wir setzen exponentielles Wachstum voraus. Wie lautet die Wachstumsfunktion f ?
2.2 Ein Teil der Probe wurde eine Stunde nach dem Melken derart behandelt, dass die Keimzahl sich stündlich um 500 erhöht. Wie lautet hier die Wachstumsfunktion g ?
2.3 Bestimme in beiden Fällen die Wachstumsgeschwindigkeit, vergleiche sie und erläutere den Unterschied zwischen exponentiellem und linearem Wachstum.
2.4 Bestimme im exponentiellen Fall den Zeitpunkt, zu dem der momentane Zuwachs 10.000 Keime pro Stunde beträgt.
Meine Lösungsvorschläge und -ansätze:
zu 2.1
f(x) = 800 * [mm] 2^{x} [/mm] [x in Stunden]
zu 2.2
g(x) = 500x + 800 [x in Stunden]
zu 2.3
f'(x) = 800 * ln2 * [mm] e^{ln2*x}
[/mm]
Kann/muss ich da genauer werden ? Also Näherungszahlen angeben ? Oder ist das so okay ? Ist es überhaupt richtig ? 
g'(x) = 500
Bei linearem Wachstum erhöht sich der aktuelle Bestand in jeweils gleichen Zeiträumen um den gleichen Betrag, hier also pro Stunde um 500 Keime. Bei exponentiellem Wachstum vervielfacht sich der aktuelle Bestand in jeweils gleichen Zeiträumen mit dem gleichen Faktor, also pro Stunde um das doppelte.
Richtig erklärt ?
2.4 Ich habe errechnet (mit ln etc.), dass sich nach vier Stunden (x [mm] \approx [/mm] 4,17) der momentane Zuwachs 10.000 Keime pro Stunde beträgt.
Richtig ????
Bitte helft mir !!!  Ich wäre Euch sehr, sehr dankbar.
Liebe Grüße
Maike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 07.04.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Maike!
> Hallo !
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> Hier gibt's eine weitere Aufgabe, die ich auf meinem
> Übungszettel bis morgen bearbeiten muss:
>
> Aufgabe 2.
>
> Ein [mm]cm^{3}[/mm] Kuhmilch enthielt eine Stunde nach dem Melken
> 800 Keime, nach zwei weiteren Stunden werden bereits 3.200
> Keime gezählt.
>
> 2.1 Wir setzen exponentielles Wachstum voraus. Wie lautet
> die Wachstumsfunktion f ?
>
> 2.2 Ein Teil der Probe wurde eine Stunde nach dem Melken
> derart behandelt, dass die Keimzahl sich stündlich um 500
> erhöht. Wie lautet hier die Wachstumsfunktion g ?
>
> 2.3 Bestimme in beiden Fällen die Wachstumsgeschwindigkeit,
> vergleiche sie und erläutere den Unterschied zwischen
> exponentiellem und linearem Wachstum.
>
> 2.4 Bestimme im exponentiellen Fall den Zeitpunkt, zu dem
> der momentane Zuwachs 10.000 Keime pro Stunde beträgt.
>
> Meine Lösungsvorschläge und -ansätze:
>
> zu 2.1
>
> f(x) = 800 * [mm]2^{x}[/mm] [x in Stunden]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") sieht gut aus
>
> zu 2.2
>
> g(x) = 500x + 800 [x in Stunden]
>
auch das sieht gut aus
> zu 2.3
>
> f'(x) = 800 * ln2 * [mm]e^{ln2*x}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") mann kann nicht erkennen, ob das $x$ noch im
Logarithmus drin steckt oder nicht. Auf jeden Fall kannst du die
Ableitung einfacher als: [mm] $f'(x)=800*2^x*\ln2$ [/mm] schreiben.
Denn [mm] $e^{x*\ln2}=e^\ln2^x=2^x$
[/mm]
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> Kann/muss ich da genauer werden ? Also Näherungszahlen
> angeben ? Oder ist das so okay ? Ist es überhaupt richtig ?
>
>
> g'(x) = 500
>
> Bei linearem Wachstum erhöht sich der aktuelle Bestand in
> jeweils gleichen Zeiträumen um den gleichen Betrag, hier
> also pro Stunde um 500 Keime. Bei exponentiellem Wachstum
> vervielfacht sich der aktuelle Bestand in jeweils gleichen
> Zeiträumen mit dem gleichen Faktor, also pro Stunde um das
> doppelte.
Es kann sich aber auch halbieren etc., je nachdem wie Wachstum definiert wird.
>
> Richtig erklärt ?
>
> 2.4 Ich habe errechnet (mit ln etc.), dass sich nach vier
> Stunden (x [mm]\approx[/mm] 4,17) der momentane Zuwachs 10.000
> Keime pro Stunde beträgt.
>
> Richtig ????
Ist auch mein Ergebnis.
>
>
> Bitte helft mir !!! Ich wäre Euch sehr, sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße
>
> Maike
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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