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| Aufgabe | Amerika war im Jahre 1600 von etwa 20 Millionen Indianern bevölkert, deren Zahl bis 1700 um 90% dezimiert war, hauptsächlich bedingt durch Seuchen. Etwa 1200 Europäer waren zur selben Zeit (um 1600) eingewandert, deren Zahl sich alle 26,6 Jahre verdoppelt. Beide Bevölkerungsentwicklung kann man durch Exponentialfunktionen modellieren.
Stelle die Entwicklung beider Bevölkerungsgruupen (um 1600) jeweils durch eine geeignete Funktion dar. |
Hallo,
könnt ihr mir vielleicht bei der Aufgabe weiterhelfen.
Wie würdet ihr die beiden Funktionen modellieren?
Für die Entwicklung der Indianerbevölkerung würde meines Wissens nach gehen:
[mm] f(t)=20\cdot(1-0,9)^t=20\cdot(0,10)^t [/mm] , wobei t für Jahre steht.
Das müsste so passen, oder?
Wie kann man bei der zweiten Funktion nun "deren Zahl sich alle 26,6 Jahre verdoppelt" darstellen?
Grüße
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Hallo Steve,
nicht ganz.
> Amerika war im Jahre 1600 von etwa 20 Millionen Indianern
> bevölkert, deren Zahl bis 1700 um 90% dezimiert war,
> hauptsächlich bedingt durch Seuchen. Etwa 1200 Europäer
> waren zur selben Zeit (um 1600) eingewandert, deren Zahl
> sich alle 26,6 Jahre verdoppelt. Beide
> Bevölkerungsentwicklung kann man durch
> Exponentialfunktionen modellieren.
>
> Stelle die Entwicklung beider Bevölkerungsgruupen (um
> 1600) jeweils durch eine geeignete Funktion dar.
> Hallo,
>
> könnt ihr mir vielleicht bei der Aufgabe weiterhelfen.
>
> Wie würdet ihr die beiden Funktionen modellieren?
>
> Für die Entwicklung der Indianerbevölkerung würde meines
> Wissens nach gehen:
>
> [mm]f(t)=20\cdot(1-0,9)^t=20\cdot(0,10)^t[/mm] , wobei t für Jahre
> steht.
>
> Das müsste so passen, oder?
Nein.
Ansatz Indianer: [mm] I(t)=2*10^7*e^{-a*t}
[/mm]
Dabei ist t in Jahren ab 1600 gemessen. Bekannt sind [mm] I(0)=2*10^7 [/mm] und [mm] e^{-a*100}=0,1.
[/mm]
> Wie kann man bei der zweiten Funktion nun "deren Zahl sich
> alle 26,6 Jahre verdoppelt" darstellen?
Ansatz Europäer: [mm] E(t)=1200*e^{b*t}
[/mm]
t wie oben. Bekannt sind E(0)=1200 und [mm] e^{b*26,6}=2.
[/mm]
Nun bestimme $a$ und $b$.
Grüße
reverend
> Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Di 28.10.2014 | | Autor: | steve.joke |
besten dank
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Hallo reverend,
mir sind jetzt doch nochmal paar Fragen aufgekommen.
Was genau bedeutet, "deren Zahl bis 1700 um 90% dezimiert war"? Dass 1700 nur noch 1/10 dar waren?
> Ansatz Indianer: $ [mm] I(t)=2\cdot{}10^7\cdot{}e^{-a\cdot{}t} [/mm] $
> Dabei ist t in Jahren ab 1600 gemessen. Bekannt sind $ [mm] I(0)=2\cdot{}10^7 [/mm] $ und [mm] e^{-a\cdot{}100}=0,1.
[/mm]
Wieso muss man bei der zweiten Bedingung den Anfangswert nicht mehr berücksichtigen, also [mm] 2\cdot{}10^7\cdot{}e^{-a\cdot{}100}=0,1??
[/mm]
Was genau bedeutet [mm] e^{-a\cdot{}100}=0,1??
[/mm]
Würde das Ganze auch mit dem Ansatz [mm] I(t)=a\cdotb^{k\cdott} [/mm] funktionieren?
Grüße
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Hallo nochmal,
> mir sind jetzt doch nochmal paar Fragen aufgekommen.
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> Was genau bedeutet, "deren Zahl bis 1700 um 90% dezimiert
> war"? Dass 1700 nur noch 1/10 dar waren?
Ja. Kann man das anders verstehen?
> > Ansatz Indianer: [mm]I(t)=2\cdot{}10^7\cdot{}e^{-a\cdot{}t}[/mm]
> > Dabei ist t in Jahren ab 1600 gemessen. Bekannt sind
> [mm]I(0)=2\cdot{}10^7[/mm] und [mm]e^{-a\cdot{}100}=0,1.[/mm]
>
> Wieso muss man bei der zweiten Bedingung den Anfangswert
> nicht mehr berücksichtigen, also
> [mm]2\cdot{}10^7\cdot{}e^{-a\cdot{}100}=0,1??[/mm]
Na, für die Aussage "um 90% dezimiert" ist doch auch kein Anfangswert nötig.
Deine Gleichung hier ist unsinnig. Da wären von 20 Mio. Indianern nach hundert Jahren also noch 0,1 Indianer übrig. Es sollten aber noch 2 Mio. sein.
> Was genau bedeutet [mm]e^{-a\cdot{}100}=0,1??[/mm]
a ist hier der zu ermittelnde Parameter, der aus dieser Gleichung leicht bestimmt werden kann.
> Würde das Ganze auch mit dem Ansatz
> [mm]I(t)=a\cdotb^{k\cdott}[/mm] funktionieren?
Im Prinzip ja, allerdings fehlt hier noch der Anfangswert! Mit einer reinen Exponentialfuktion ist der Verlauf nicht zu modellieren. Für eine Beziehung zwischen den Ansätzen ist es außerdem reichlich ungeschickt, die gleiche Variablenbezeichnung zu wählen (hier a).
Sagen wir also meinetwegen [mm] I(t)=I_0*c^k.
[/mm]
Mein Ansatz war [mm] I(t)=I_0*e^{-ak}.
[/mm]
Dann ist [mm] c=e^{-a}
[/mm]
Grüße
reverend
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Als Ergänzung:
Da in der Aufgabenstellung steht "Beide Bevölkerungsentwicklung kann man durch Exponentialfunktionen modellieren." würde ich dementsprechend auch den allgemeineren Exponentialansatz
[mm]I(t)=I_{0}*b^{t}[/mm] wählen.
Auch wenn die Aufgabe dadruch eventuell etwas aufwändiger wird, würde ich den Anfangswert nicht zu [mm] 20*10^6 [/mm] setzen, sondern [mm] I(1600)=20*10^{6} [/mm] und dementsprechend [mm] I(1700)=20*10^{5} [/mm] und daraus dann die Parameter der Expo.Fkt berechnen.
Das macht die Sache mMn logischer und man kann die Bevölkerungsgröße nach beliebigen Zeiten direkt, ohne Differenzbildung berechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo steve.joke!
> Amerika war im Jahre 1600 von etwa 20 Millionen Indianern
> bevölkert, deren Zahl bis 1700 um 90% dezimiert war,
> hauptsächlich bedingt durch Seuchen. Etwa 1200 Europäer
> waren zur selben Zeit (um 1600) eingewandert, deren Zahl
> sich alle 26,6 Jahre verdoppelt. Beide
> Bevölkerungsentwicklung kann man durch
> Exponentialfunktionen modellieren.
>
> Stelle die Entwicklung beider Bevölkerungsgruupen (um
> 1600) jeweils durch eine geeignete Funktion dar.
> Hallo,
>
> könnt ihr mir vielleicht bei der Aufgabe weiterhelfen.
>
> Wie würdet ihr die beiden Funktionen modellieren?
>
> Für die Entwicklung der Indianerbevölkerung würde meines
> Wissens nach gehen:
>
> [mm]f(t)=20\cdot(1-0,9)^t=20\cdot(0,10)^t[/mm] , wobei t für Jahre
> steht.
>
> Das müsste so passen, oder?
>
> Wie kann man bei der zweiten Funktion nun "deren Zahl sich
> alle 26,6 Jahre verdoppelt" darstellen?
>
> Grüße
Hier eine Alternative zu reverents und Arvy-Aussm-Walds Vorschlägen. Man kann die Exponentialfunktionen auch direkt hinschreiben: ([mm]t[/mm] jeweils in Jahren nach 1600)
[mm]I(t)=20\cdot 10^6\cdot 0.1^{\frac{t}{100}}[/mm]
[mm]E(t)=1200\cdot 2^{\frac{t}{26.6}}[/mm]
Die Form der Funktionen hier ist [mm]\text{Anfangsbestand}\cdot \left(\text{Wachstumsfaktor}\right)^{\dfrac{\text{Zeit}}{\text{Zeitraum}}}[/mm], wobei "Zeitraum" für die Anzahl an Jahren steht, bis der Wachstumsfaktor genau einmal angewandt wurde, also 100 Jahre bei den Indianern (nach 100 Jahren sind nur noch [mm]0.1\cdot 20000000[/mm] da) und 26.6 Jahre bei den Europäern (nach 26.6 Jahren sind [mm]2\cdot 1200[/mm] da).
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Mi 29.10.2014 | | Autor: | steve.joke |
Danke euch nochmal.
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