Wachstumsfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Fruchtfliegen vermehren sich nach der Funktion B(t)= [mm] B_{0}\*e^{kt} [/mm] , wobei die Zucht bei 100 Fliegen beginnt.
Die Konstante k kann bestimmt werden durch folgende Angaben: Nach 5 Tagen gibt es 250 Fliegen.
1. Nach wie vielen Fliegen können täglich 218 Fliegen entnommen werden, ohne dass der Bestand unter den des Vortages zurückfällt?
2. Zu einem bestimmten Zeitpunkt [mm] t_{1} [/mm] werden 90% der Fliegen entnommen. Wie lange dauert es danach, bis der Bestand vom Zeitpunkt [mm] t_{1} [/mm] wieder erreicht ist,wenn keine weitere Entnahme erfolgt? |
Hallo,
ich hoffe, jemand kann mir mit diesen Fragen helfen. Bisher bin ich so weit:
1. B'(t)= [mm] 100\*e^{0,18t}\* [/mm] 0,18 = 218
t = 13,86
Ist das richtig, also kann man das durch die erste ableitung so bestimmen?
2. Hier hab ich nur ansatzideen, auf mehr komme ich leider nicht (und auch der ansatz erscheint mir falsch):
[mm] 10\* B_{0} [/mm] = [mm] B_{0}\*e^{kt} [/mm] da sich der bestand ja verzehnfachen muss, wenn 90% entnommen wurden. Das heißt, dass der wieder zu erreichende anfangsbestand gleich dem neuen mal 10 sein muss, oder? Doch wie formuliere ich das als formel?
Ich hoffe sehr, dass mir hier jemand helfen kann.
Vielen Dank schon einmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 ist richtig.
Bei 2 hast du auch den richtigen ansatz, wenn du einfach [mm] t_i=0 [/mm] setzt, was man ja darf.
dann teil deine gl durch [mm] B_0 [/mm] und berechne t.
exakt nach der Aufgabe ginge man vor:
[mm] B(t_i)=0,1*B*e^{0.18*t_i}
[/mm]
[mm] B((t_1+t)=B*e^{0.18*(t1+t)}=B*e^{0.18*t_i}*e^{0.18*t}
[/mm]
Da kann man dann die erste gl einsetzen.
Ich wuerde trotzdem deinen Weg waehlen, weil er einfacher ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey!
Erst einmal danke für die antwort!
Ich verstehe leider noch nicht ganz was du meinst (und meinen ansatz finde ich irgendwie nicht ganz logisch, wenn ichs weiter rechne). Denn wenn ichs weiter nach t umstelle, kommt ja das raus:
[mm] 10\*B_{0} [/mm] = [mm] B_{0}\*e^{0,18t}
[/mm]
10 = [mm] e^{0,18t}
[/mm]
[mm] ln(\bruch{10}{0,18}) [/mm] = t
4,02 = t
Das stimmt aber nicht wenn ich die probe mache, und überhaupt, es können ja nicht immer gleich viel tage sein bis sich der bestand wieder verzehnfacht, oder doch?
Viele grüße,
laura
|
|
|
| |
|
> Hey!
>
> Erst einmal danke für die antwort!
>
> Ich verstehe leider noch nicht ganz was du meinst (und
> meinen ansatz finde ich irgendwie nicht ganz logisch, wenn
> ichs weiter rechne). Denn wenn ichs weiter nach t umstelle,
> kommt ja das raus:
>
> [mm]10\*B_{0}[/mm] = [mm]B_{0}\*e^{0,18t}[/mm]
> 10 = [mm]e^{0,18t}[/mm]
Hallo,
==> [mm] \bruch{ln(10)}{0.18}=t,
[/mm]
und dann paßt's.
Der von leduart geschilderte Ansatz verfolgt - etwas anders formuliert - diesen Gedanken:
zum Zeitpunkt [mm] t_1 [/mm] habe ich [mm] B(t_1)=100*e^{0.18t_1} [/mm] Fliegen.
Nehme ich 90% davon weg, behalte ich [mm] N=10*e^{0.18t_1} [/mm] Fliegen.
Diese sind der Anfangswert meiner neuen Bestandsfunktion.
Nach t Tagen (gezählt ab [mm] t_1) [/mm] habe ich N(t)= [mm] 10*e^{0.18t_1}*e^{0.18t} [/mm] Fliegen,
und die Frage ist nun: für welches t ist [mm] N(t)=B(t_1) [/mm] ?
Wenn Du dies auflöst, kommst du genau zu Deiner Gleichung.
Gruß v. Angela
> [mm]ln(\bruch{10}{0,18})[/mm] = t
> 4,02 = t
>
> Das stimmt aber nicht wenn ich die probe mache, und
> überhaupt, es können ja nicht immer gleich viel tage sein
> bis sich der bestand wieder verzehnfacht, oder doch?
>
> Viele grüße,
> laura
|
|
|
| |
|
Vielen dank für die antwort, ich hab jetzt alles verstanden!
Schönen abend noch,
laura
|
|
|
|
