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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 20.08.2013 | | Autor: | Robb77 |
| Aufgabe | | zu zeigen ist lim [mm] \bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}} [/mm] = 0 |
Hallo Mathefreunde,
Wie zeigt man das? Die basis scheint egal zu sein.
n>log(n) klar aber log(log (n))> [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
MfG
Rob77
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rob77, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Frage ist einfach zu beantworten:
> zu zeigen ist lim [mm]\bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}}[/mm]
> = 0
> Hallo Mathefreunde,
> Wie zeigt man das? Die basis scheint egal zu sein.
> n>log(n) klar aber log(log (n))> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Das gilt für n>5, [mm] n\in\IN, [/mm] und unter der Voraussetzung, dass hier [mm] \log [/mm] für den natürlichen Logarithmus steht. Einfach die passende Umkehrfunktion anwenden...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 20.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo reverend,
interessante Frage und ich würde auch gerne die Lösung dazu verstehen.
Die Umkehrfunktion zum ln ist doch [mm] e^{(... )}.
[/mm]
Dann bekomme ich [mm] \qquad \frac{n^{ln(ln(n))}}{e^{\sqrt{n}}} \qquad [/mm]
Ist das so richtig? Und wie könnte man weiter machen?
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 20.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend,
> interessante Frage und ich würde auch gerne die Lösung
> dazu verstehen.
> Die Umkehrfunktion zum ln ist doch [mm]e^{(... )}.[/mm]
>
> Dann bekomme ich [mm]\qquad \frac{n^{ln(ln(n))}}{e^{\sqrt{n}}} \qquad[/mm]
>
> Ist das so richtig?
nein. Ich hab keine Ahnung wie Du darauf kommst.
> Und wie könnte man weiter machen?
Auf die Schnelle ist mir das eingefallen:
Wir setzen [mm] a_n:=log(n). [/mm] Dann ist [mm] \wurzel{n}=e^{\bruch{1}{2}a_n}
[/mm]
und
(*) [mm] \bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}}= \bruch{(a_n)^{log(a_n)}}{e^{\bruch{1}{2}a_n}}=\bruch{e^{(log(a_n))^2}}{e^{\bruch{1}{2}a_n}}=e^{(log(a_n))^2-\bruch{1}{2}a_n}
[/mm]
Setzt man [mm] b_n:=log(a_n), [/mm] so ist [mm] a_n=e^{b_n} [/mm] und damit ist
[mm] (log(a_n))^2-\bruch{1}{2}a_n=b_n^2-\bruch{1}{2}e^{b_n}
[/mm]
Wegen [mm] b_n \to \infty [/mm] ( n [mm] \to \infty), [/mm] sieht man nun:
$ [mm] (log(a_n))^2-\bruch{1}{2}a_n \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] ( n [mm] \to \infty)
[/mm]
Aus (*) folgt nun:
[mm] \bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}} \to [/mm] 0 ( n [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
> Grüße,
> Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 20.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
... und das ist dir auf die schnelle eingefallen!!!?
Bemerkenswert!
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Di 20.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> ... und das ist dir auf die schnelle eingefallen!!!?
Die Motivation für meine Vorgehensweise ist die folgende:
1. Die allgemeine Potenz [mm] a^b [/mm] ist def. durch [mm] e^{b*log(a)}
[/mm]
2. Damit habe ich versucht, das Monster log [mm] (n))^{log( log (n))} [/mm] in der Form
[mm] e^{A_n}
[/mm]
zu schreiben.
3. Dann habe ich auch den Nenner von [mm] \bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}} [/mm] in der Form
[mm] e^{B_n}
[/mm]
geschrieben. Warum ? Darum:
4. Es ist dann
[mm] \bruch{(log (n))^{log( log (n))}}{\wurzel{n}}=e^{A_n-B_n}.
[/mm]
Nun hab ich mir angeschaut, was [mm] A_n-B_n [/mm] für "große" n treibt. Und siehe da:
[mm] $A_n-B_n \to [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Damit war die Sache gelaufen.
FRED
>
>
> Bemerkenswert!
> Micha
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