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| Aufgabe | Bei einem Wachstumsprozes kannn der momentante Bestand durch die Funktion f mit [mm] f(t)=8-3*e^{-0,02t} [/mm] (t in min) beschrieben werden.
a) Welche Diffrenzialgleichung erfüllt dieser Wachstumsprozess?
b)Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger als 1% |
Hey Leute,
zu a)
[mm] f(t)=8-3*e^{-0,02t}
[/mm]
Dies ist ein exponentielles Wachstum, welches von der Schranke 8 beschränkt wird, welshalb es ein beschränktes exponentielles Wachstum ist. Daraus folgt die Diffrenzialgleichung => f'(t)=k*(S-f(t))
Jetzt müssen wir k bestimmen:
Dafür setzen wir diese Funktion mit ihrer Ableitung gleich.
Die Ableitung ist [mm] f'(t)=-0,06*e^{-0,02t}.
[/mm]
Jetzt können wir einn wert einsetzten z.B. 2
Also f'(2)=k*(8-f(2))
Das ergibt: k=-0,019
Ist Mein Ergebnis hier richtig für k?
b)
Wie kann ich diese Aufgabe angehen?
Hier ist ja gefragt nach welcher Zeit der Bestand pro Minute weniger als 1% zuwächst oder?
Der Bestand hier beträgt 3?
Der Zuwachs wird durch die 1 Ableitung beschrieben.
dann müsste man hier wieder die Funtkion mit der Ableitung gleichsetzen.
[mm] -0,06*e^{-0,02*t}=-0,019*[8-(8-\bruch{3*e^{-0,02t}}{100})]
[/mm]
Hab ich hier richtig gedacht?
Gruss defjam123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 21.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Bei einem Wachstumsprozes kannn der momentante Bestand
> durch die Funktion f mit [mm]f(t)=8-3*e^{-0,02t}[/mm] (t in min)
> beschrieben werden.
>
> a) Welche Diffrenzialgleichung erfüllt dieser
> Wachstumsprozess?
> b)Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger
> als 1%
> Hey Leute,
>
> zu a)
>
> [mm]f(t)=8-3*e^{-0,02t}[/mm]
>
> Dies ist ein exponentielles Wachstum, welches von der
> Schranke 8 beschränkt wird, welshalb es ein beschränktes
> exponentielles Wachstum ist. Daraus folgt die
> Diffrenzialgleichung => f'(t)=k*(S-f(t))
>
> Jetzt müssen wir k bestimmen:
>
> Dafür setzen wir diese Funktion mit ihrer Ableitung
> gleich.
> Die Ableitung ist [mm]f'(t)=-0,06*e^{-0,02t}.[/mm]
Ist das Minuszeichen vor 0,06 korrekt? Der Faktor -3 wird doch mit der ebenfalls negativen inneren Ableitung (-0,02) multipliziert.
>
> Jetzt können wir einn wert einsetzten z.B. 2
> Also f'(2)=k*(8-f(2))
>
> Das ergibt: k=-0,019
>
> Ist Mein Ergebnis hier richtig für k?
>
> b)
>
> Wie kann ich diese Aufgabe angehen?
>
> Hier ist ja gefragt nach welcher Zeit der Bestand pro
> Minute weniger als 1% zuwächst oder?
>
> Der Bestand hier beträgt 3?
>
> Der Zuwachs wird durch die 1 Ableitung beschrieben.
>
> dann müsste man hier wieder die Funtkion mit der Ableitung
> gleichsetzen.
>
> [mm]-0,06*e^{-0,02*t}=-0,019*[8-(8-\bruch{3*e^{-0,02t}}{100})][/mm]
>
> Hab ich hier richtig gedacht?
>
> Gruss defjam123
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Hallo,
> Bei einem Wachstumsprozes kannn der momentante Bestand
> durch die Funktion f mit [mm]f(t)=8-3*e^{-0,02t}[/mm] (t in min)
> beschrieben werden.
>
> a) Welche Diffrenzialgleichung erfüllt dieser
> Wachstumsprozess?
> b)Nach welcher Zeit beträgt der Zuwachs pro Minute weniger
> als 1%
> Hey Leute,
>
> zu a)
>
> [mm]f(t)=8-3*e^{-0,02t}[/mm]
>
> Dies ist ein exponentielles Wachstum, welches von der
> Schranke 8 beschränkt wird, welshalb es ein beschränktes
> exponentielles Wachstum ist. Daraus folgt die
> Diffrenzialgleichung => f'(t)=k*(S-f(t))
>
> Jetzt müssen wir k bestimmen:
>
> Dafür setzen wir diese Funktion mit ihrer Ableitung
> gleich.
> Die Ableitung ist [mm]f'(t)=-0,06*e^{-0,02t}.[/mm]
Wie abakus bereitzs geschrieben hat: ein Vorzeichenfehler:
[mm]f'(t)=0,06*e^{-0,02t} = k*\left(8-\left(8- 3*e^{-0,02t}\right)\right)[/mm]
[mm]0,06*e^{-0,02t} = k*\left( 3*e^{-0,02t}\right)[/mm]
[mm]0,06 = k* 3[/mm] also k = 0,02
> Jetzt können wir einn wert einsetzten z.B. 2
> Also f'(2)=k*(8-f(2))
>
> Das ergibt: k=-0,019
>
> Ist Mein Ergebnis hier richtig für k?
siehe oben
>
> b)
>
> Wie kann ich diese Aufgabe angehen?
>
> Hier ist ja gefragt nach welcher Zeit der Bestand pro
> Minute weniger als 1% zuwächst oder?
>
> Der Bestand hier beträgt 3?
>
> Der Zuwachs wird durch die 1 Ableitung beschrieben.
>
> dann müsste man hier wieder die Funtkion mit der Ableitung
> gleichsetzen.
>
> [mm]-0,06*e^{-0,02*t}=-0,019*[8-(8-\bruch{3*e^{-0,02t}}{100})][/mm]
>
> Hab ich hier richtig gedacht?
Ableitungen brauchst Du hier nicht. Die Frage ist nur, 1% vom Anfangsbestand oder 1% vom Momentanbestand.
Im 1. Fall:
[mm] $\bruch{3*e^{-0,02*t}}{5} [/mm] = 0,01$ mit t = 204,717 min
Im 2. Fall:
[mm] $\bruch{3*e^{-0,02*t}}{8- 3*e^{-0,02t}} [/mm] = 0,01$ mit t = 181,715 min
Edit: diese Lösung ist nicht richtig.
>
> Gruss defjam123
LG, Martinius
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Hey
wie kommst auf die Rechnung vom zweiten fall. Warum gibts es 2 Fälle?
Danke für dieHilfe
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Hallo defjam,
die beiden Fälle habe ich nur aufgeschrieben, weil ich nicht sicher bin, wie die Aufgabenstellung gemeint ist.
Dein Lehrer wird es sicherlich klären.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 22.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo defjam,
was die Aufgabe b) anbelangt, so habe ich mich bei der Antwort geirrt. Sorry.
Ich hatte versehentlich das Sättigungsmanko mit dem Zuwachs verwechselt.
Der absolute Zuwachs ist: [mm] $3-3*e^{-0,02*t}$ [/mm] .
Jetzt ist nur die Frage, wovon er 1% betragen soll. Vom Anfangsbestand 5, oder von der Sättigungsgrenze 8, oder vom Momentanbestand [mm] $8-3*e^{-0,02*t}$ [/mm] .
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 23.01.2008 | | Autor: | defjam123 |
Du hattest recht! War 1% vom Momentanbestand gefragt
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Hey bin grad etwas verplant.
Bei mir fällt t weg beim zweiten Fall. Wie hast du das Ergebnis raus bekommen
Gruss
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Hallo defjam,
kannst Du nochmal die Formel aufschreiben, die Du meinst. Ich bin jetzt selber etwas verunsichert. Ich hoffe, dein Lehrer hat es geklärt.
LG, Martinius
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Hey
Das ist die Formel beim 2te Fall 0,01*f(t)=f'(t).
Bei dem Schritt [mm] \bruch{3*e^{-0,02t}}{8-3*e^{-0,02t}}=0,01 [/mm] komm ich nicht weiter. Hier entfäll nämlich bei mir [mm] e^{-0,02t}
[/mm]
Gruss
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Hallo defjam,
da machst Du einfach eine Polynomdivision:
[mm] $\bruch{3*e^{-0,02*t}}{8-3*e^{-0,02*t}}= [/mm] 0,01$
[mm] $3*e^{-0,02*t} [/mm] : [mm] \left(-3*e^{-0,02*t}+8\right) [/mm] = [mm] -1+\bruch{8}{8-3*e^{-0,02*t}} [/mm] $
Dann kannst Du weiterrechnen mit:
[mm] $-1+\bruch{8}{8-3*e^{-0,02*t}} [/mm] = 0,01$
Aber wie gesagt; ich meine, dass der Zuwachs [mm] 3-3*e^{-0,02*t} [/mm] beträgt, und nicht [mm] 3*e^{-0,02*t} [/mm] (was das Sättigungsmanko darstellt).
LG, Martinius
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