www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenProzesse und MatrizenWahl - Inverse Matrix ?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Prozesse und Matrizen" - Wahl - Inverse Matrix ?
Wahl - Inverse Matrix ? < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Prozesse und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wahl - Inverse Matrix ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Fr 25.09.2009
Autor: rabilein1

Aufgabe
Partei A hat heute 130 Mitglieder.
Partei B hat heute 100 Mitglieder.
Partei C hat heute 1070 Mitglieder.

Jedes Jahr wechseln von A 10% nach C.
Jedes Jahr wechseln von B 20% nach A und 30% nach C.
Alle anderen bleiben ihrer jeweiligen Partei treu.

Fragen:
a) Wie viele Mitglieder werden A, B und C in einem Jahr haben?
b) Wie viele Mitglieder hatten A, B und C vor einem Jahr?

Bestimmt gibt es mehrere Möglichkeiten, an die Aufgabe ran zu gehen.
Aber der Lehrer, der diese Aufgabe gestellt hat, scheint ein "Matrizen-Fetischist" zu sein
(nicht zu verwechseln mit einem Matratzen-Fetischisten *lol*).

Aufgabe a) sollte deshalb so gelöst werden:

[mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm] = [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 } [/mm]

Das ist dann das Ergebnis aus a):
A hat in einem Jahr 137 Mitglieder, B hat 50 Mitglieder und C hat 1113 Mitglieder.


So weit, so gut. Aber wie soll das bei b) gehen?

[mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ A \\ B \\ C } [/mm] = [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm]

Wie kriegt man dann A, B und C raus?

Okay [mm] \Rightarrow [/mm] 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das ist lösbar.

Aber irgendwie sollte das auch anders funktionieren:
Da stand was von "Inverse Matrix"

Macht das einen Sinn?
Ist das unbedingt erforderlich?
Ist der Rechenaufwand dann kleiner im Vergleich zu "3 Gleichungen mit 3 Unbekannten"?


Das Ergebnis ist übrigens:
A hatte vor einem Jahr 100 Mitglieder, B hatte 200 Mitglieder und C hatte 1000 Mitglieder.

        
Bezug
Wahl - Inverse Matrix ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Fr 25.09.2009
Autor: fred97


> Partei A hat heute 130 Mitglieder.
>  Partei B hat heute 100 Mitglieder.
>  Partei C hat heute 1070 Mitglieder.
>  
> Jedes Jahr wechseln von A 10% nach C.
>  Jedes Jahr wechseln von B 20% nach A und 30% nach C.
>  Alle anderen bleiben ihrer jeweiligen Partei treu.
>  
> Fragen:
>  a) Wie viele Mitglieder werden A, B und C in einem Jahr
> haben?
>  b) Wie viele Mitglieder hatten A, B und C vor einem Jahr?
>  
> Bestimmt gibt es mehrere Möglichkeiten, an die Aufgabe ran
> zu gehen.
> Aber der Lehrer, der diese Aufgabe gestellt hat, scheint
> ein "Matrizen-Fetischist" zu sein
> (nicht zu verwechseln mit einem Matratzen-Fetischisten
> *lol*).
>
> Aufgabe a) sollte deshalb so gelöst werden:
>
> [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }[/mm] = [mm]\pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 }[/mm]
>  
> Das ist dann das Ergebnis aus a):
> A hat in einem Jahr 137 Mitglieder, B hat 50 Mitglieder und
> C hat 1113 Mitglieder.
>  
>
> So weit, so gut. Aber wie soll das bei b) gehen?
>  
> [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ A \\ B \\ C }[/mm] = [mm]\pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 }[/mm]
>  
> Wie kriegt man dann A, B und C raus?
>  
> Okay [mm]\Rightarrow[/mm] 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das ist
> lösbar.
>  
> Aber irgendwie sollte das auch anders funktionieren:
>  Da stand was von "Inverse Matrix"
>
> Macht das einen Sinn?

Ja, das kann man machen

> Ist das unbedingt erforderlich?


Nein. Siehe Antwort auf Deine nächst Frage


> Ist der Rechenaufwand dann kleiner im Vergleich zu "3
> Gleichungen mit 3 Unbekannten"?


In diesem Fall führt das Lösen des LGS schneller zum Ziel .

B= 200 hat man sofort. A ergibt sich aus der 1. Gleichung dann rasch, ebnso C.

FRED


>  
> Das Ergebnis ist übrigens:
>  A hatte vor einem Jahr 100 Mitglieder, B hatte 200
> Mitglieder und C hatte 1000 Mitglieder.


Bezug
                
Bezug
Wahl - Inverse Matrix ?: einfaches Zahlenbeispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Fr 25.09.2009
Autor: rabilein1

Aufgabe
In obigem Beispiel waren die Zahlen absihtlich einfach gewählt, so dass man das notfalls im Kopf rechnen kann.

Aber wie wäre das, wenn da eine intensivere Bewegung quer durch alle Parteien stattfinden würde?  

Vom Prinzip her ist mir das einleuchtend:

Die Spalten der Matrizen stellen dar: Bewegung von ...  
Die Zeilen der Matrizen stellen dar: Bewegung nach ...  

Und dann wird gerechnet:
90% der 130 A-Mitglieder (=117) wandern von A nach A.
20% der 100 B-Mitglieder (= 20) wandern von B nach A.
0% der 1070 C-Mitglieder (=  0) wandern von C nach A.

Also hat A ein Jahr später 117 + 20 + 0 = 137 Mitglieder

Bezug
                        
Bezug
Wahl - Inverse Matrix ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Fr 25.09.2009
Autor: Steffi21

Hallo, hast du eine intensivere Bewegung bei z.B. fünf Parteien, so bekommst du eine 5 mal 5 Matrix, u.s.w. sicherlich ist nun die Frage, wie hoch ist der Rechenaufwand: Gleichungssystem oder inverse Matrix, kannst ja mal dein 1. Beispiel ein Jahr zurück rechnen über die inverse Matrix

[mm] \pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{130 \\ 100 \\ 1070 }= [/mm]

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Wahl - Inverse Matrix ?: Fragen zu inverse Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Fr 25.09.2009
Autor: rabilein1

Aufgabe
Es ist       [mm] \pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm] = [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 } [/mm]

Und es ist   [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 137 \\ 50 \\ 1113 } = [/mm] [mm] \pmat{ 130 \\ 100 \\ 1070 } [/mm]


Daraus folgt:

[mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm] ist die inverse Matrix zu [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm]


Durch welche Rechenoperationen kommt man denn

von [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm] auf [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 } [/mm]  ?

Falls es sich um "relativ einfache" Rechenoperationen handelt, dann könnte es bei einer 5 mal 5 Matrix eventuell auf diesem Wege schneller gehen, da man ansonsten ja 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten hätte.

Andererseits muss man bei einer 5 mal 5 Matrix ja 25 einzelne Positionen berechnen.


Bezug
                                        
Bezug
Wahl - Inverse Matrix ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Fr 25.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 }[/mm]
> ist die inverse Matrix zu [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm]
>  
>
> Durch welche Rechenoperationen kommt man denn
>  
> von [mm]\pmat{ 0.9 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.3 & 1 }[/mm]   auf   [mm]\pmat{ \bruch{10}{9} & -\bruch{4}{9} & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -\bruch{1}{9} & -\bruch{5}{9} & 1 }[/mm]    ?
>  
> Falls es sich um "relativ einfache" Rechenoperationen
> handelt, dann könnte es bei einer 5 mal 5 Matrix eventuell
> auf diesem Wege schneller gehen, da man ansonsten ja 5
> Gleichungen mit 5 Unbekannten hätte.
>  
> Andererseits muss man bei einer 5 mal 5 Matrix ja 25
> einzelne Positionen berechnen.


Hallo rabilein,

zur Berechnung der inversen Matrix gibt es verschiedene
Algorithmen. Ein wichtiger ist da dargestellt:

     []Inverse Matrix

Für größere Matrizen ist die Invertierung aber jedenfalls
ziemlich rechenaufwendig und man überlässt deshalb
die Berechnung am besten dem Computer. Im Netz
findet man dazu reihenweise Applets !


LG    Al-Chw.  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Prozesse und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]