Wahr oder Falsch? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo!
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X) und Varianz Var(X). Sei außerdem der geordnete Wertebereich von X gleich [mm]x_1
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
(1) [mm]\operatorname{Var}(X)\geq 0[/mm]
(2) [mm]E(X)\geq x_1[/mm]
(3) [mm]\operatorname{Var}(X)\geq x_1[/mm]
(4) [mm]\operatorname{Var}(X)\geq E(X)[/mm]
(5) [mm]\operatorname{Var}(X)\geq E(X^2)[/mm]
(6) [mm]\operatorname{Var}(X)\geq E(X)^2[/mm] |
Meine Ideen (bis jetzt nur zu (1) und (2)):
(1) ist wahr, denn:
Nach Def. ist [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X-\mu)^2 [/mm]. Ich versteh die Schreibweise so: [mm](E(X-\mu))^2[/mm], stimmt das? Wenn ja, ist es wegen des Quadrats klar, daß das größer/ gleich 0 ist.
(2) stimmt nicht, denn:
[mm]E(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n>x_1\underbrace{(p_1+p_2+...+p_n)}_{=1}=x_1[/mm]
Gilt also nur >.
Wie kann man (3) bis (6) zeigen.
Weiß nur, daß man bestimmt bei den hinteren Aufgaben [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm] braucht, aber ich weiß nicht, wie.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
> (3,4) Setze [mm]n=1,x_1=2[/mm].
(3) [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
Wenn nun [mm]n=1, x_1=2[/mm] sind, habe ich:
[mm]\operatorname{Var}(X)=x_1^2\cdot p_1-(x_1\cdot p_1)^2[/mm]
Da hier [mm]n=1[/mm], muss [mm]p_1=1[/mm] sein, oder?
Dann hätte ich:
[mm]x_1^2\cdot p_1-(x_1\cdot p_1)^2=4-4=0\geq 2[/mm], was natürlich falsch ist.
Man hat hier also ein Gegenbeispiel gefunden.
War das so von Dir gemeint?
(4) Nach (3) ist [mm]\operatorname{Var}(X)=0[/mm] für [mm]n=1, x_1=2[/mm]. [mm]E(X)=x_1\cdot p_1=x_1=2[/mm] unter diesen Voraussetzungen.
Damit ist wieder ein Gegenbeispiel gefunden?
>
> (5)
> [mm]\operatorname{E}[X^2]=\operatorname{Var}[X]+\operatorname{E}[X]^2\ge\operatorname{Var}[X][/mm].
Okay, das habe ich verstanden. Das gilt, da [mm](E(X))^2\geq 0[/mm].
> (6) Recycle (3).
Weiß ich leider nicht, was Du meinst.
Könntest Du es evtl. erklären?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 09.11.2011 | | Autor: | luis52 |
> > (3,4) Setze [mm]n=1,x_1=2[/mm].
>
> (3) [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
>
> Wenn nun [mm]n=1, x_1=2[/mm] sind, habe ich:
>
> [mm]\operatorname{Var}(X)=x_1^2\cdot p_1-(x_1\cdot p_1)^2[/mm]
>
> Da hier [mm]n=1[/mm], muss [mm]p_1=1[/mm] sein, oder?
>
> Dann hätte ich:
>
> [mm]x_1^2\cdot p_1-(x_1\cdot p_1)^2=4-4=0\geq 2[/mm], was natürlich
> falsch ist.
>
> Man hat hier also ein Gegenbeispiel gefunden.
> War das so von Dir gemeint?
>
> (4) Nach (3) ist [mm]\operatorname{Var}(X)=0[/mm] für [mm]n=1, x_1=2[/mm].
> [mm]E(X)=x_1\cdot p_1=x_1=2[/mm] unter diesen Voraussetzungen.
>
> Damit ist wieder ein Gegenbeispiel gefunden?
>
>
> >
> > (5)
> >
> [mm]\operatorname{E}[X^2]=\operatorname{Var}[X]+\operatorname{E}[X]^2\ge\operatorname{Var}[X][/mm].
>
> Okay, das habe ich verstanden. Das gilt, da [mm](E(X))^2\geq 0[/mm].
>
>
> > (6) Recycle (3).
Alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Weiß ich leider nicht, was Du meinst.
> Könntest Du es evtl. erklären?
>
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Du hast doch selbst in (4) gefunden [mm] $\operatorname{Var}[X]=0$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[X]=2$, [/mm] also [mm] $\operatorname{E}[X]^2=4$ [/mm] ...
vg Luis
>
> Danke!
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich verstehe nicht.
(6) [mm]\operatorname{Var}(X)\leq E(X)^2[/mm]
Wenn [mm]n=1, x_1=2[/mm]
gilt [mm]0\leq 4[/mm]
Aber das ist doch kein Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht.
>
> (6) [mm]\operatorname{Var}(X)\leq E(X)^2[/mm]
(6) war doch : $ [mm] \operatorname{Var}(X)\geq E(X)^2 [/mm] $
>
> Wenn [mm]n=1, x_1=2[/mm]
>
> gilt [mm]0\leq 4[/mm]
>
> Aber das ist doch kein Beweis.
Es ist ein Gegeńbeispiel.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Oh, da habe ich mich hier vertan.
(6) soll lauten: [mm]\operatorname{Var}(X)\leq E(X)^2[/mm].
Wie kann man das beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, da habe ich mich hier vertan.
>
> (6) soll lauten: [mm]\operatorname{Var}(X)\leq E(X)^2[/mm].
>
> Wie kann man das beweisen?
Gar nicht.
Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik)
unter "Beispiele"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Oh, cool. Damit ist ja ein Gegenbeispiel gefunden!
Meinst Du es ist okay, wenn ich das Gegenbeispiel einfach übernehme oder ist das dann Klauen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, cool. Damit ist ja ein Gegenbeispiel gefunden!
>
> Meinst Du es ist okay, wenn ich das Gegenbeispiel einfach
> übernehme oder ist das dann Klauen??
Sag woher Du es hast.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wenn $>$ gilt dann auch [mm] $\ge$. [/mm] Siehe aber (3) und (4) unten fuer =.
