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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 21.08.2006 | | Autor: | magister |
| Aufgabe | Eine Klasse besteht aus 21 Schülern. Alle Namenszetteln kommen in einer Urne, aus der 2 mal ohne zurücklegen gezogen wird. Die W., mindestens 1 Mädchen zu ziehen beträgt 3/7.
Wie viele Mädchen und Burschen besuchen diese Klasse?
Wie oft müsste man MIT zurücklegen ziehen, damit die W., nur Burschen zu ziehen, höchstens 1% ist. |
Bitte einige Tips?
bin mir gar nicht sicher dies zu lösen
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo magister!
Du scheinst es ja sehr eilig zu haben...
> Eine Klasse besteht aus 21 Schülern. Alle Namenszetteln
> kommen in einer Urne, aus der 2 mal ohne zurücklegen
> gezogen wird. Die W., mindestens 1 Mädchen zu ziehen
> beträgt 3/7.
> Wie viele Mädchen und Burschen besuchen diese Klasse?
>
> Wie oft müsste man MIT zurücklegen ziehen, damit die W.,
> nur Burschen zu ziehen, höchstens 1% ist.
> Bitte einige Tips?
> bin mir gar nicht sicher dies zu lösen
Du hast eine Menge $M = [mm] \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] und die Teilmenge $T := [mm] \{ 1, \dots, k \}$ [/mm] mit $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$. Wenn du aus $M$ jetzt zwei zufaellige Elemente ohne Zuruecklegen ziehst, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht in $T$ liegen?
Dazu zaehl doch erstmal die Moeglichkeiten, die es ueberhaupt gibt, zwei Elemente aus $M$ zu ziehen (ohne zuruecklegen und mit Reihenfolge). Und dann zaehle, wie viele Moeglichkeiten es gibt, das beide aus $M [mm] \setminus [/mm] T = [mm] \{ k+1, \dots, n \}$ [/mm] sind.
Im Prinzip brauchst du nur eine Formel, die du zweimal anwenden musst...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 22.08.2006 | | Autor: | magister |
Erstmals danke für deine hilfe.
ich tue mir trotzdem noch sehr schwer.
du meinst sicher die formel n!/(n-k)!
n = 21 und k = 2 das ergibt 420 Möglichkeiten
wozu brauche ich das ?
bitte um konkretere, nicht so formale,sondern hilfestellungen mit zahlen.
danke im voraus
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Hallo magister!
Am einfachsten ist diese Aufgabe mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes zu lösen.
Es sei x...Anzahl der Jungen; y...Anzahl der Mädchen, dann ist x=21-y.
Es muss sein 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 21
Y sei das Ergeihnis:"Mindestens 1 Mädchen word gezogen."
Die Möglichkeiten, mindestens 1 Mädchen zu ziehen sind folgende:
A: Mädchen; Mädchen
B: Mädchen; Junge
C: Junge; Mädchen
Für A:
Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Ziehen ein Mädchen zu treffen ist [mm] \bruch{y}{21}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen darauf ein Mädchen zu treffen beträgt [mm] \bruch{y-1}{20} [/mm] (-->1 Mädchen weniger also y-1 und nur noch 20 Namen im Topf)
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A beträgt demnach:
P(A) [mm] \bruch{y}{21}*\bruch{y-1}{20}=\bruch{y^2-y}{420}
[/mm]
Für B:
Die Wahrscheinlichkeit beim 1. Ziehen ein Mädchen zu treffen ist [mm] \bruch{y}{21}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen darauf einen Jungen zu treffen beträgt [mm] \bruch{21-y}{20} [/mm] (-->21-y=x...Anzahl der Jungen und nur noch 20 Namen im Topf)
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B beträgt demnach:
P(B)= [mm] \bruch{y}{21}*\bruch{21-y}{20}=\bruch{21y-y^2}{420}
[/mm]
Für C:
Die Wahrscheinlichkeit beim 1.Ziehen KEIN Mädchen zu treffen beträgt [mm] \bruch{21-y}{21}. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen darauf ein Mädchen zu treffen beträgt [mm] \vruch{y}{20} [/mm] (--> alle Mädchen sind noch im Topf, aber nur noch 20 Namen insgesamt)
Die Wahrscheinlichkeit für Erignis C beträgt demnach:
[mm] P(C)=\bruch{21-y}{21}*\bruch{y}{20}=\bruch{21y-y^2}{420}
[/mm]
Zusammenfassend ergibt sich nun für Ereignis Y:
[mm] P(Y)=P(A)\veeP(B)\veeP(C) [/mm] = P(A)*P(B)*P(C) (--> es tritt entweder Ereignis A oder Ereignis B oder Ereignis C ein)
P(Y) = [mm] \bruch{y^2-y}{420}+\bruch{21y-y^2}{420}+\bruch{21y-y^2}{420}=\bruch{3}{7} [/mm] (Wahrscheinlichkeit war laut Aufgabe gegeben)
Diese Gleichung musst du nun nur noch nach y umstellen (p-q-Formel für das lösen von quadratischen Gleichungen) und du solltest für y genau 2 Lösungen erhalten, wovon nur eine relevant ist. Kleiner Tipp: Es sit die Lösung, die zwischen 4 und 6 liegt.
Gruß,
Tommy
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Hallo magister!
Hier noch ein Hinweis, wie du die 2.Teilaufgabe (Wie oft darf man maximal mit zurücklegen ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit immer einen Jungen zu treffen kleiner als 1% ist) lösen kannst:
Die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu ziehen beträgt [mm] \bruch{16}{21} [/mm] (=Lösung aus erster Teilaufgabe) .
Die Wahrscheinlichkeit nun n-mal einen Jungen zu ziehen ist demnach:
[mm] P(x)=\left( \bruch{16}{21} \right)^n
[/mm]
Laut Aufgabe sollgelten:
P(x) [mm] \le [/mm] 0,01 (0,01 [mm] \hat= [/mm] 1%)
Also ergibt sich:
[mm] \left( \bruch{16}{21} \right)^n \le [/mm] 0,01
Stellt man die Ungleichung nach n um so erhält man:
n [mm] \le \left( \bruch{ln(0,01)}{ln(\bruch{16}{21})} \right)
[/mm]
Wenn man das ausrechnet erhält man:
n [mm] \le [/mm] 16,9349
Das bedeutet, man müßte mindestens 17 mal ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit immer einen Jungen zu ziehen höchtens 1% beträgt.
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mi 23.08.2006 | | Autor: | magister |
HI Tommy
Vielen Dank für die sehr ausführliche und verständliche Erläuterung.
Konnte deinen Ausführungen gut folgen.
Herzlichen Dank
Liebe Grüße
magister
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