Wahrscheinlichkeit Treffpunkt < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 12.05.2023 | | Autor: | Spica |
Ein Ehepaar arbeitet in der gleichen Firma. Geschäftsbedingt gehen beide zwischen 13 Uhr und 14 Uhr zum Mittagessen in die Kantine und bleiben dort exakt immer eine halbe Stunde, um dann die Kantine wieder zu verlassen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich sehen bzw. zumindest für einen Moment treffen, wenn sie jeden Tag völlig zufallsbedingt die Kantine unabhängig voneinander betreten und wieder verlassen?
Grafisch lässt sich die Aufgabe in einem Koordinatensystem gut darstellen und man kommt auf 75% Wahrscheinlichkeit für ein Treffen. Aber lässt sich das auch mit stochastischen Formeln bzw. Zusammenhängen irgendwie algebraisch rechnen und herleiten?
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Hiho,
also die Aufgabe ist unklar formuliert.
Was soll denn "völlig zufallsbedingt" bedeuten?
Stochastisch lässt sich das Zusammentreffen aber recht einfach formulieren: Seien X und Y die Ankunftszeiten (Differenz zu 13 Uhr, in h), dann treffen sich beide genau dann, wenn $|X-Y| [mm] \le [/mm] 0.5$.
Die Wahrscheinlichkeit läßt sich dann recht einfach in Abhängigkeit der gewählten Verteilung für X und Y berechnen... nimmt man an, dass "völlig zufallsbedingt" gleichverteilt meint, dann kommt man auf 0.75, das hast du vermutlich für deine Zeichnung implizit angenommen.
Aber warum sollte das "völliger" sein als eine andere Verteilung?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 13.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Gono,
gleichverteilt wäre wohl im gemeinten Kontext der richtige mathematische Ausdruck gewesen.
Du schreibst, das ließe sich ganz einfach berechnen. Kannst du den Ansatz bitte mal kurz formulieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 13.05.2023 | | Autor: | Infinit |
Hallo spica,
wenn ich auch Gonos mutige Aussage bewundere, so glaube ich jedoch, dass dies rein mathematisch nicht ganz so einfach ist.
Es geht hier um die Funktion (in diesem Fall die Betragsfunktion) zweier Zufallsvariablen, die durch eine Differenz miteinander verknüpft sind. Die Betragsfunktion ist außerdem michtlinear, sie lässt sich aber durch zwei getrennte Ereignisse in linearer Weise beschreiben, denn entweder ist [mm] X -Y \leq 0,5 [/mm] oder eben [mm] Y - X \leq 0,5 [/mm]. Es ist bei mir mehr als 40 Jahre her, dass ich mich mal mit solchen Sachen beschäftigt habe und so kann ich erst mal nur hier kurz erwähnen, was mir davon noch im Kopf ist.
Das Ganze führt auf eine zweidimensionale Wahscheinlichkeitsdichte, über die man dann, mit entsprechend gewählten Grenzen, integrieren muss. Was mir noch im Gedächtnis geblieben ist, ist, dass bei der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen die neue Dichte sich durch ein Faltungsintegral berechnen lässt.
Aus diesen Gründen halte ich dies nicht für so trivial, aber vielleicht hat Gono ja eine ansprechendere Lösung als die, die hinter meiner Beschreibung steht.
Viele Grüße,
Infinit
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Hiho,
Wie gesagt waren $X$ und $Y$ auf $[0,1]$ gleichverteilt, d.h. es gilt [mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] f_Y(y) [/mm] = 1$.
Da beide Ankunftszeiten unabhängig voneinander sein sollten, ist die gemeinsame Dichte gerade das Produkt der Einzeldichten, d.h. [mm] $f_{(X,Y)}(x,y) [/mm] = [mm] f_X(x)f_Y(y) [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$
(das folgt zwar auch aus der Faltungsformel, die man hier wegen der Unabhängigkeit aber nicht benötigt…)
Und wir erhalten mit $A = [mm] \{|X-Y| \le 0.5\}$:
[/mm]
$P(|X-Y| [mm] \le [/mm] 0.5) = P(A) = [mm] \int_A f_{(X,Y)}(x,y) d\lambda^2 [/mm] = [mm] \int_A \, [/mm] 1 [mm] \, d\lambda^2$
[/mm]
Das ist jetzt ein normales zweidimensionales Integral über die Menge $A$.
Jetzt kannst du dir aussuchen, ob du erst nach dx oder erst nach dy integrieren möchtest. Ich hab mich mal für dy als äußeres Integral entschieden, dann erhalten wir durch A als Bedingung für X:
$|X-Y| [mm] \le [/mm] 0.5 [mm] \iff [/mm] -0.5 + Y [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 0.5 + Y$
Da X aber normalverteilt auf [0,1] war, schränkt das den Integrationsbereich ein auf [mm] $\max\{-0.5+y, 0\} \le [/mm] x [mm] \le \min\{0.5 + y, 1\}$ [/mm] und wir erhalten:
$P(A) = [mm] \int_0^1 \int_{\max\{-0.5+y, 0\}}^{\min\{0.5 + y, 1\}} [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx dy$
Das jetzt auszurechnen ist nicht schwer, nur etwas Schreibarbeit…
Splitte das dy Integral dazu auf in die drei Bereiche:
1.) $-0.5+y [mm] \le [/mm] 0$
2.) $-0.5+y [mm] \ge [/mm] 0, 0.5 + y [mm] \le [/mm] 1$
3.) $0.5 + y [mm] \ge [/mm] 1$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Gono,
zwar sind mir Mehrfachintegrale (z.B. Oberflächenint. 1. und 2. Art mit Skalaren und Vektoren) bekannt, aber nur mit einfachen Integrationsgrenzen, meinentwegen auch Variablen, wo dann die Int-Reihenfolge eine Rolle spielt, aber mit einer Int-Grenze von max(-0.5+y,0) kann ich rechnerisch nichts anfangen. Wolfram-Alpha bringt auch nur Fehlermeldungen. Auch verstehe ich nicht, wie es gehen soll, wenn du beim zweiten y-Integral in drei Bereiche aufteilst und wieder y in den Int-Grenzen hast. Im äußeren Integral sollten doch keine Variablen mehr stehen, um auf ein konkretes, variablenfreies Ergebnis zu kommen.
Ich will dich aber nicht weiter bemühen, danke dir und gedenke meine math. Grenzen zu akzeptieren. 
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Hiho,
ich glaube du hast dich nur von dem (auf den ersten Blick) komplizierten Ausdruck abschrecken lassen.
Rein formal, wenn du über die Menge $A$ ganz normal integrieren würdest, hättest du
$ P(A) = [mm] \int_0^1 \int_{-0.5+y}^{0.5 + y} [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx dy $
weil die Menge $A$ eben die Bedingung $|X-Y| [mm] \le [/mm] 0.5 [mm] \gdw [/mm] -0.5 + Y [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 0.5 + Y$ liefert.
Da im äußeren Integral bezüglich dy integriert wird, bleiben auch keine x oder y nach dem Integrieren übrig…
Im äußeren Integral läuft nun y von 0 bis 1, weil $Y [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt… so weit so gut.
Betrachten wir uns das innere Integral aber mal für y = 0.1, erhalten wir für die untere Grenze $-0.5 + y = -0.4$ und für die obere Grenze $0.5 + y = 0.6$.
Wir hätten also den Ausdruck [mm] $\int_{-0.4}^{0.6} \ldots [/mm] dx$, wir würden also $x [mm] \in [/mm] [-0.4,0.6]$ integrieren.
ABER: auch für X galt ja $X [mm] \in [/mm] [0,1]$, d.h. wir haben einerseits $x [mm] \in [/mm] [-0.4,0.6]$ durch die Bedingung aus $A$, als auch "von außen" die Bedingung $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Fügt man das zusammen, dürfen wir (im Fall $y = 0.1$) nur über den Bereich $[-0.4,0.6] [mm] \cap [/mm] [0,1] = [0,0.6]$ integrieren.
bzw. für beliebiges $y$ über den Bereich $[-0.5 + y, 0.5 + y] [mm] \cap [/mm] [0,1]$
Und wenn man das jetzt in ein Intervall schreibt, wäre das eben gerade $[-0.5 + y, 0.5 + y] [mm] \cap [/mm] [0,1] = [mm] \left[\max\{-0.5+y, 0\}, \min\{0.5 + y, 1\}\right]$.
[/mm]
> aber mit einer Int-Grenze von max(-0.5+y,0) kann ich rechnerisch nichts anfangen.
Genau deswegen mein Hinweis mit der Aufteilung des Integrationsbereich, denn dann fallen die komplizierten [mm] $\max$ [/mm] und [mm] $\min$ [/mm] Ausdrücke weg.
Und ich stelle gerade fest:
Eigentlich braucht man nur zwei Bereiche:
1.) Für $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 0.5$ ist die untere Grenze $-0.5 + y [mm] \le [/mm] 0$ und damit wird die untere Grenze immer auf $0$ "hochgezogen".
Die obere Grenze $0.5 + y$ liegt zwischen 0 und 1 und deswegen ist alles gut.
Wir erhalten also [mm] $\int_0^{0.5 + y}$
[/mm]
2.) Für $0.5 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$ liegt die untere Grenze $-0.5 + y$ zwischen 0 und 1, alles ist gut und muss nicht geändert werden.
Für die obere Grenze hingegen gilt $0.5 + y [mm] \ge [/mm] 1$ und muss damit auf 1 "abgeschnitten" werden
Wir erhalten also:
$ P(A) = [mm] \int_0^1 \int_{\max\{-0.5+y, 0\}}^{\min\{0.5 + y, 1\}} [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx dy = [mm] \int_0^{0.5} \int_0^{0.5+y}\, [/mm] 1 [mm] \,dxdy [/mm] + [mm] \int_{0.5}^1 \int_{-0.5+y}^1\, 1\,dxdy [/mm] $
Das sollte doch jetzt besser auszurechnen sein.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 15.05.2023 | | Autor: | Spica |
Danke, Gono,
jetzt ist es klar geworden und auch leicht zu rechnen.
Nur noch eine Kleinigkeit:
<<Und wenn man das jetzt in ein Intervall schreibt, wäre das eben gerade $ [-0.5 + y, 0.5 + y] [mm] \cap [/mm] [0,1] = [mm] \left[\max\{-0.5+y, 0\}, \min\{0.5 + y, 1\}\right] [/mm] $<<
Da hänge ich etwas, wie du max. und min. verwendest.
Warum schreibst du nicht gerade andersrum [mm] min\{-0.5+y, 0\}, \max\{0.5 + y, 1\} [/mm] ?
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Hiho,
> Da hänge ich etwas, wie du max. und min. verwendest.
> Warum schreibst du nicht gerade andersrum [mm]min\{-0.5+y, 0\}, \max\{0.5 + y, 1\}[/mm]
> ?
Weil es falsch wäre… wie ein leichtes Beispiel wieder mit $y=0.1$ zeigt:
Für $y=0.1$ ist $-0.5+y = -0.4$
Wir wollen aber, dass das Intervall dann bei Null startet.
[mm] $\max\{-0.5+y,0\} [/mm] = [mm] \max\{-0.4,0\} [/mm] = 0$, wohingegen [mm] $\min\{-0.5+y, 0\} [/mm] = [mm] \min\{-0.4,0\} [/mm] = -0.4$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Di 16.05.2023 | | Autor: | Spica |
Vielen Dank, Gono!
Jetzt ist der Groschen endgültig gefallen und ich verstehe, wie du diese Max. und Min. meinst. Und mir ist jetzt klar, dass Max. in die untere Grenze gehört (oder eben 0) und Min. in die obere (oder eben 1).
Wenn man ein Quadrat mit 1 mal 1 zeichnet und die gesamte zu integrierende Fläche markiert, die sich dann zwischen zwei schrägen Linien befindet und 75% der Gesamtfläche ausmacht, dann kann man auch die Integrationsgrenzen gut nachvollziehen.
VG Spica
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