Wahrscheinlichkeit berechnen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 So 28.08.2005 | | Autor: | hadi |
Hallo Forum-Member, dies ist mein
1. Beitrag.
Also folgendes, wir haben bei uns im Mathe-LK noch keine bücher, die bekommen wir erst in ein paar wochen, deswegen kann ich da kaum was nachlesen. Im Internet habe ich nicht so viel verstanden was dort zu meinem Problem hätte weiterhelfen können.
==> Man hat 10 Münzen, die man alle auf einmal hochwirft.
Nun ist die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genu 5 "Kopf" und 5 "Zahl" ergeben?
Ich weiss bereits, dass es sich heirbei um ein "Laplace-Experiment" handelt. Die Wahrscheinlichkeit dass alle Kopf oder alle Zahl sind liegt bei 1:1024.
Habe mir auch ein Baum-Diagramm gezeichnet (allerdings mit n=4 Münzen), um zu schauen wie es sich dort verhällt (Wie oft 2mal Kopf und 2 mal Zahl vorkommt). Ich wolte gucken, ob ich vielleicht auf eine Gesetzmäßigkeit stoße und so auf das Ergebniss bei den 10 Münzen.
Bei 4 Münzen ergebibt sich eine relative Möglichkeit von 6:16, hat mir allerdings nciht viel weitergeholfen....
Ich hoffe, ihr könnt mir irgendwie weiterhelfen...
Wollte nämlich nicht ein Baum-Diagramm mit 1024 Möglichkeiten zeichnen und dann abzählen wie oft 5 mal Zahl und 5 mal Kopf vorkommt ;).
Bin über jede Hilfestellung dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hadi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> ==> Man hat 10 Münzen, die man alle auf einmal hochwirft.
> Nun ist die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass genu 5 "Kopf" und 5 "Zahl" ergeben?
>
> Ich weiss bereits, dass es sich heirbei um ein
> "Laplace-Experiment" handelt. Die Wahrscheinlichkeit dass
> alle Kopf oder alle Zahl sind liegt bei 1:1024.
>
> Habe mir auch ein Baum-Diagramm gezeichnet (allerdings mit
> n=4 Münzen), um zu schauen wie es sich dort verhällt (Wie
> oft 2mal Kopf und 2 mal Zahl vorkommt). Ich wolte gucken,
> ob ich vielleicht auf eine Gesetzmäßigkeit stoße und so auf
> das Ergebniss bei den 10 Münzen.
> Bei 4 Münzen ergebibt sich eine relative Möglichkeit von
> 6:16, hat mir allerdings nciht viel weitergeholfen....
schau Dir mal folgende Formel an:
[mm]P\left( {X\; = \;2} \right)\; = \;\frac{{\frac{{4!}}
{{2!\;2!}}}}
{{2^{4} }}[/mm]
Bei dem Ausdruck im Zähler handelt es sich um eine Permutation von 4 Elementen mit Wiederholung, bei der jeweils 2 gleiche Elemente dabei sind.
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> Ich ho ffe, ihr könnt mir irgendwie weiterhelfen...
>
> Wollte nämlich nicht ein Baum-Diagramm mit 1024
> Möglichkeiten zeichnen und dann abzählen wie oft 5 mal Zahl
> und 5 mal Kopf vorkommt ;).
Das kann analog zu obiger Formel gemacht werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 28.08.2005 | | Autor: | hadi |
VIELEN DANK für die schnelle Hilfe!!!
Nach obiger Formel erhalte ich dann 3:8
bzw, die relative Wahrscheinlichkeit dass von 4 Münzen genau 2 Kopf und 2 Zahl zeigen liegt bei 0,375%.Das hatte ich ja auch raus (6:16)
Wenn ich dann allerdings für meinen Fall analog 10 statt 4 einsetze, komme ich auf 14175:16 bzw. 885,93
Das kann ja irgendwie nicht hinkommen...
Was mache ich falsch?
Allerdings weiss ich nicht, wie ich meinem Lehrer zeigen kann, dass ich auf obige Formel gekommen bin ;). Das mit Permutationen, also "!" hinter den Zahlen hatten wir nämlcih ncoh nicht im Unterricht.
Hatte dieses Jahr erst genau eine Stunde Mathe :P
Hast du ne Idee wie ich ihm verklickern kann, dass ich auf die Lösung gekommen bin? Wäre echt zu schön um war zu sein...
Unser Lehrer hat nämlich als Bemerkung zur Lösung der Aufgabe gesagt, wir sollten dass analog zu der Fragestellung mit n=4 Münzen probieren.
Habe ich ja gemacht, aber bin trotzdem nicht auf die obige Lösung gekommen.... :(
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Hallo Hadi,
Zum Lösen dieses Problems benötigt Binomialkoeffizienten. Per Definition gilt:
[mm] $\vektor{n \\k}$ [/mm] = [mm] $\bruch{n!}{k!*(n-k)!}$ [/mm] Sprich: n über k
Dieser Wert gibt z.B. an wie häufig beim Werfen von n Münzen genau k mal Kopf bzw. Zahl oben liegt.
Weiters hat man beim Werfen von n Münzen genau [mm] 2^k [/mm] mögliche Ausgänge. (Die 2 weil es für jede Münze 2 Möglichkeiten gibt, das k weil es k Münzen sind. Eine UND Verknüpfung entspricht rechnerisch ja einer Multiplikation. (Kopf oder Zahl) UND (Kopf oder Zahl) UND ...)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also
P(X=5) = [mm] $\bruch{\vektor{10 \\ 5}}{2^{10}}$ $\approx$ [/mm] 0,25 = 25 %
Das wäre also noch recht wahrscheinlich.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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