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| Aufgabe | | Ein fairer Würfel wird 60 mal gewürfelt. Verifizieren Sie mittels des schwachen Gesetzes der großen Zahlen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der geworfenen Zahlen im offenen Intervall (190,230) liegt, mindestens 0,55 ist. |
Hallo zusammen!
Ich hab diese Aufgabe bearbeitet komme aber nicht auf den Wert 0,55! Vielleicht kann mir ja jemand sagen wo ich einen Fehler gemacht habe.
Zuerst habe ich den Erwartungswert und die Varianz bestimmt E(X)=3,5 und [mm] V(X)=\bruch{1}{3}\*8,75
[/mm]
S:= [mm] X_{1}+....+X_{60}
[/mm]
[mm] P({S\in|190,230|})=P({|S-210|}\ge20
[/mm]
[mm] P({|\bruch{1}{60}\*(X_{1}+...+X_{60})-3,5|\ge\bruch{1}{3})}\le\bruch{\bruch{1}{3}\*8,75}{60\*\bruch{1}{3}^2}=\bruch{7}{16} [/mm] =0,43
Vielen Dank für jede Hilfe!!
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Hiho,
> Zuerst habe ich den Erwartungswert und die Varianz bestimmt
> E(X)=3,5 und [mm]V(X)=\bruch{1}{3}\*8,75[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> S:= [mm]X_{1}+....+X_{60}[/mm]
>
> [mm]P({S\in|190,230|})=P({|S-210|}\ge20[/mm]
Also: Erstmal meinst du auf der linken Seite ein Intervall, d.h. da müsste stehen $[190,230] $, da du aber das OFFENE Intervall meinst, müsstest du $(190,230)$ betrachten. Da wir uns aber im Bereich der GANZEN Zahlen befinden, ist das gleichbedeutend mit dem Intervall [191,229]
Dann: Rechts müsste ein [mm] \le [/mm] stehen und kein [mm] \ge [/mm] und die 20 ist demzufolge auch falsch.
Wenn du eine Zahl aus dem Intervall [191,229] nimmst und davon 210 abziehst, dann ist der Betrag davon nicht nur kleiner als 20, sondern?
Gruß,
Gono
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Dann wäre der Betrag also demnach [mm] \ge [/mm] 19
Aber selbst wenn ich mit 19 weiter rechne komm ich nicht auf den Wert 0,55?!
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Hiho,
> Dann wäre der Betrag also demnach [mm]\ge[/mm] 19
Nein! Ich hab vorher schon geschrieben, dass da ein [mm] \le [/mm] stehen muss.
Gruß,
Gono.
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Ups, das wollte ich eigentlich auch schreiben! Aber abgesehen von den Ungleichheitszeichen komm ich nicht auf den Wert 0,55! Wie muss die Rechnung richtig lauten, dass dieser dabei raus kommt? Die Ungleichheitszeichen "bestimmen" diesen gesuchten Wert ja nicht?
Diese Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn :(
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Hiho,
> Ups, das wollte ich eigentlich auch schreiben! Aber abgesehen von den Ungleichheitszeichen komm ich nicht auf den Wert 0,55!
Dann rechne doch mal vor!
Und nein, das hast du bisher noch nicht getan und das Ungleichheitszeichen spielt dabei eine wesentliche Rolle. Denn mit [mm] \le [/mm] funktioniert dein bisher vorgerechneter Weg nicht.
Gruß,
Gono.
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erst mal vielen Danke für deine geduldige Hilfe :)
E(X) und V(X) sind berechnet, dann schaue ich mir das Intervall [191,229] an und bilde den Mittelwert, den brauch ich ja für das Schwache Gesetz der Großen Zahlen: 191+229=420:2 =210
Jetzt kann ich ja sagen [mm] P({S\in[191,229]})= P({S-210})\le19
[/mm]
Und wenn ich jetzt in die Formel gehe, die lautet: [mm] P(|\bruch{1}{n}\*(X_{1}+...+X_{n})-E(X)|\ge\varepsilon)\le\bruch{V(X)}{n\*\varepsilon^2}
[/mm]
Dann steht bei mir:
[mm] P(\bruch{1}{60}\*(X_{1}+...+X_{60})-3.5)\le\bruch{19}{60})\ge\bruch{\bruch{1}{3}\*8,75}{60*\bruch{19}{60}^2}=0,43
[/mm]
Wo mache ich den Fehler? Der Kann doch eigentlich nur bei der 19 liegen oder? die anderen Werte, die dann mein Ergebnis beeinflussen passen doch?!
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mir ist gerade aufgefallen, dass ich die rechte Seite der Ungleichung 1-(...) machen muss, da ich die Ungleichungszeichen gedreht habe. Dann würde auf der rechten Seite stehen:
[mm] 1-(\bruch{\bruch{1}{3}\*8,75}{60\*\bruch{19}{60}^2})=0,51
[/mm]
Nun komm ich meinen Wert näher aber es sind immer noch keine 0,55!
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Hiho,
> E(X) und V(X) sind berechnet, dann schaue ich mir das
> Intervall [191,229] an und bilde den Mittelwert, den brauch
> ich ja für das Schwache Gesetz der Großen Zahlen:
> 191+229=420:2 =210
Nein! Das hat nichts mit dem Mittelwert des Intervalls zu tun, sondern mit dem Erwartungswert deiner Zufallsvariable, die du später bestimmen willst. Letztendlich normierst du deine Zufallsvariable S, d.h. du ziehst den Erwartungswert ab und teilst durch n. Dadurch baust du dir einen "durchschnittlichen Ausgang" und darüber sagt das Gesetz der großen Zahlen etwas aus, nämlich dass der "durchschnittliche Ausgang" gegen den Erwartungswert konvergiert.
Und der Erwartungswert deiner Summe von 60 Würfelwürfen ist eben gerade 210.
> Jetzt kann ich ja sagen [mm]P({S\in[191,229]})= P({S-210})\le19[/mm]
Notation! So wie du es aufgeschrieben hast, steht da jetzt$ [mm] P({S-210})\le19$
[/mm]
Was soll P(S-210) sein? Das macht keinen Sinn! Und wie soll das kleinergleich 19 sein? Das macht auch keinen Sinn.
Was du meintest war:
[mm]P({S\in[191,229]})= P\left(|S-210|\le19\right)[/mm]
Sauberer aufschreiben.
Dass du jetzt nicht das schwache Gesetz der großen Zahlen anwenden kannst, ist dir ja bereits aufgefallen, sondern du erst das Relationszeichen anpassen musst durch eine Umformung.
Mache das SAUBER und achte darauf, wie euer schwaches Gesetz der großen Zahlen aussieht.
Tipp: [mm] $P\left(|S-210|\le19\right) \not= [/mm] 1 - [mm] P\left(|S-210|\ge 19\right)$
[/mm]
Und am Ende erkläre ich dir noch, warum die Aufgabe blödsinnig gestellt ist.
Gruß,
Gono.
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ich versteh leider nicht warum die Umformung nicht passt
In meinem Skript steht nämlich diese Formel:
[mm] P({|\bruch{1}{n}\*(X_{1}+...+X_{n})-E(X)|<\varepsilon})\ge 1-\bruch{V(X)}{n\*\varepsilon^2}
[/mm]
und ich dachte das die nun meinem Sachverhalt entspicht ?!
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Hiho,
> ich versteh leider nicht warum die Umformung nicht passt
> In meinem Skript steht nämlich diese Formel:
>
> [mm]P({|\bruch{1}{n}\*(X_{1}+...+X_{n})-E(X)|<\varepsilon})\ge 1-\bruch{V(X)}{n\*\varepsilon^2}[/mm]
Die ist ja auch in Ordnung.
> und ich dachte das die nun meinem Sachverhalt entspicht ?!
In der Formel oben steht ein < in deinem Ausdruck aber ein [mm] $\le$!
[/mm]
Ist es wirklich so schwer Formeln abzugleichen?
Überlege dir also, wie du [mm] \le [/mm] 19 mit einem kleiner in den ganzen Zahlen ausdrücken kannst *seufz*
Gruß,
Gono.
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Ich steh glaub grad echt aufn schlauch :/
Wenn ich [mm] \le [/mm] 19 in ganzen Zahlen ausdrücken will dann mach ich doch < 20 oder bin ich jez völlig doof??
Aber wenn ich dann mit 20 in die Formel gehe komm ich auf 0,56 als Ergebnis! Is das mindestens in der Aufgabe dann so zu verstehen das ich über dem angegebenen Wert von 0,55 sein muss?
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Hiho,
> Ich steh glaub grad echt aufn schlauch :/
dann geh doch runter.
> Wenn ich [mm]\le[/mm] 19 in ganzen Zahlen ausdrücken will dann mach ich doch < 20 oder bin ich jez völlig doof??
(bezogen auf das <20 nicht auf das danach)
> Aber wenn ich dann mit 20 in die Formel gehe komm ich auf 0,56 als Ergebnis!
> Is das mindestens in der Aufgabe dann so zu verstehen das ich über dem angegebenen Wert von 0,55 sein muss?
Was soll "mindestens" denn sonst bedeuten? Du erhälst ja sowieso kein genaues Ergebnis, sondern eine Abschätzung.
Gruß,
Gono.
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