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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | | Die Koeffizienten p und q einer quadratischen Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] + p*x + q werden "rein zufällig" (geometrische Wahrscheinlichkeit aus dem Intervall [0,1] ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass f mindestens eine reelle Nullstelle besitzt? |
Hallo,
mir ist nicht klar, wie ich auf die Beschreibung des Ereignis komme, dass für eine reelle Nullstelle treffend wäre.
Die Lösung dafür wäre [mm]A = \{(p,q)\in\Omega: D=\bruch{p^{2}}{4}-q\ge0\}[/mm]
Könnte mir das jemand anschaulich erklären?
Danke!
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> Die Koeffizienten p und q einer quadratischen Funktion
> [mm]f(x)=x^2[/mm] + p*x + q werden "rein zufällig" (geometrische
> Wahrscheinlichkeit aus dem Intervall [0,1] ausgewählt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass f mindestens eine
> reelle Nullstelle besitzt?
> Hallo,
>
> mir ist nicht klar, wie ich auf die Beschreibung des
> Ereignis komme, dass für eine reelle Nullstelle treffend
> wäre.
> Die Lösung dafür wäre [mm]A = \{(p,q)\in\Omega: D=\bruch{p^{2}}{4}-q\ge0\}[/mm]
>
> Könnte mir das jemand anschaulich erklären?
> Danke!
Hallo fiktiv
Beschrieben hast du das Ereignis A schon, dessen
Wahrscheinlichkeit gesucht ist.
Zeichne dir in der p-q-Koordinatenebene die
Grundmenge [mm] \Omega [/mm] und deren Teilmenge A auf.
Da bei der angenommenen Gleichverteilung die
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen proportional
zu den Flächeninhalten der entsprechenden Punkt-
mengen sind, musst du dann nur diese Flächen-
inhalte berechnen und ins Verhältnis setzen.
LG Al-Chw.
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Huhu,
> Könnte mir das jemand anschaulich erklären?
dass die Menge wirklich das beschriebene Ereignis ist, ergibt sich einfach aus der p-q-Formel.
Diese hat ja mindestens eine Lösung, wenn die Diskriminante (also der Wert unter der Wurzel) nichtnegativ ist.
Und genau das beschreibt das Ereignis A.
Schreib dir die p-q-Formel für die Gleichung oben mal hin, dann siehst du es sofort.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fiktiv |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten. Die liebe pq-Formel, ja.. das macht es wohl eindeutig. *g*
Eine ähnliche Aufgabe dreht sich um die Bedingung, dass zwei zufällig gezogene Zahlen x und y aus [0,1] gleichzeitig den beiden Ungleichungen [mm]x+y\ge1[/mm] und [mm]x^{2}+y^{2}\le1[/mm] genügen müssen.
Ich müsste also zunächst wieder das Ereignis konstruieren. Bzw. muss ich jetzt zwei Ereignisse erstellen, und die dann gemäß [mm]A_{1} \cap A_{2} = A_{1} * A_{2}[/mm] multipliziert werden?
Wie sähen die Ereignisse aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Fr 18.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> vielen Dank für die Antworten. Die liebe pq-Formel, ja..
> das macht es wohl eindeutig. *g*
>
> Eine ähnliche Aufgabe dreht sich um die Bedingung, dass
> zwei zufällig gezogene Zahlen x und y aus [0,1]
> gleichzeitig den beiden Ungleichungen [mm]x+y\ge1[/mm] und
> [mm]x^{2}+y^{2}\le1[/mm] genügen müssen.
>
> Ich müsste also zunächst wieder das Ereignis
> konstruieren. Bzw. muss ich jetzt zwei Ereignisse
Hallo,
es reicht doch schon, die durch die Bedingungen beschriebene Fläche eindeutig zu identifizieren und deren Anteil am Quadrat mit der Fläche 1 zu finden.
[mm]x^{2}+y^{2}\le1[/mm] ist das Innere des Einheitkreises im 1. Quadranten, und [mm]x+y\ge1[/mm] kann umgeschrieben werden, zu [mm] y\ge [/mm] 1-x.
Die von beiden Bedingungen beschriebene Fläche hat den Inhalt [mm] \bruch{\pi}{4}-0,5.
[/mm]
Gruß Abakus
> erstellen, und die dann gemäß [mm]A_{1} \cap A_{2} = A_{1} * A_{2}[/mm]
> multipliziert werden?
> Wie sähen die Ereignisse aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 18.03.2011 | | Autor: | fiktiv |
Hallo,
> es reicht doch schon, die durch die Bedingungen
> beschriebene Fläche eindeutig zu identifizieren und deren
> Anteil am Quadrat mit der Fläche 1 zu finden.
> [mm]x^{2}+y^{2}\le1[/mm] ist das Innere des Einheitkreises im 1.
> Quadranten, und [mm]x+y\ge1[/mm] kann umgeschrieben werden, zu
> [mm]y\ge[/mm] 1-x.
> Die von beiden Bedingungen beschriebene Fläche hat den
> Inhalt [mm]\bruch{\pi}{4}-0,5.[/mm]
> Gruß Abakus
Mir ist nicht klar, wie man mathematisch auf diese Fläche (=Wahrscheinlichkeit) kommt.
Der erste Quadrant im Einheitskreis hat die Fläche: [mm]A = \bruch{\pi}{4}*r^{2}[/mm]
r müsste ja unserem x (oder/und y?!) entsprechen. Ich komme da nicht so weiter..
Gruß,
fiktiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 18.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> > es reicht doch schon, die durch die Bedingungen
> > beschriebene Fläche eindeutig zu identifizieren und deren
> > Anteil am Quadrat mit der Fläche 1 zu finden.
> > [mm]x^{2}+y^{2}\le1[/mm] ist das Innere des Einheitkreises im
> 1.
> > Quadranten, und [mm]x+y\ge1[/mm] kann umgeschrieben werden, zu
> > [mm]y\ge[/mm] 1-x.
> > Die von beiden Bedingungen beschriebene Fläche hat den
> > Inhalt [mm]\bruch{\pi}{4}-0,5.[/mm]
> > Gruß Abakus
>
> Mir ist nicht klar, wie man mathematisch auf diese Fläche
> (=Wahrscheinlichkeit) kommt.
> Der erste Quadrant im Einheitskreis hat die Fläche: [mm]A = \bruch{\pi}{4}*r^{2}[/mm]
>
> r müsste ja unserem x (oder/und y?!) entsprechen. Ich
> komme da nicht so weiter..
Hallo,
r ist 1. Darum heißt das Ding nämlich Einheitskreis, weil sein Radius eine Längeneinheit beträgt.
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> fiktiv
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