Wahrscheinlichkeit rotes Bonbo < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:28 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
| Aufgabe | Jede der n e N Plastiktüten P1,.....,Pn enthält g grüne und r rote Bonbons. Aus P1 wird ein Bonbon genommen und in P2 gelegt. Aus P2 wird ein Bonbon in P3 gelegt usw.
(b) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, aif diese Weise ein rotes Bonbon aus Pn zu ziehen, wenn der aus P1 entnommene Bonbon rot ist? |
Die Lösung liegt vor mir. Der Beweis beginnt aber mit folgender Behauptung:
Beh.: P(An|A1) = [mm] \bruch{r}{r+g} [/mm] + [mm] \bruch{g}{r+g} [/mm] *( [mm] \bruch{1}{r+g+1}) [/mm] ^(n-1)
Dies wird dann per Induktion bewiesen. WOher kommt denn aber diese Behauptung? Hätte man die sofort sehen müssen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Jede der n e N Plastiktüten P1,.....,Pn enthält g grüne
> und r rote Bonbons. Aus P1 wird ein Bonbon genommen und in
> P2 gelegt. Aus P2 wird ein Bonbon in P3 gelegt usw.
>
> (b) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, auf
> diese Weise ein rotes Bonbon aus Pn zu ziehen, wenn
> der aus P1 entnommene Bonbon rot ist?
Ob es nun richtigerweise "der" oder "das" Bonbon heißt,
habe ich nachgeschlagen: es geht offenbar beides ...
wohl aber kaum beides im selben Satz.
Dass da eine gewisse sprachliche Unsicherheit besteht,
liegt sicher daran, dass Bonbons ohnehin fast immer im
Plural auftreten, wo das Genus nicht erkennbar ist,
hoffentlich aber der Genuss ... 
> Die Lösung liegt vor mir.
> Der Beweis beginnt aber mit folgender Behauptung:
>
> Beh.: P(An|A1) = [mm]\bruch{r}{r+g}+\bruch{g}{r+g}*(\bruch{1}{r+g+1})^{n-1}[/mm]
>
> Dies wird dann per Induktion bewiesen. Woher kommt denn
> aber diese Behauptung? Hätte man die sofort sehen
> müssen?
>
> Danke!
Hallo Phiesel,
"sofort sehen" können wohl nur wenige eine derartige
Formel. Sie nachzuvollziehen sollte aber deutlich
einfacher sein - habe ich zuerst gedacht - aber dann
hatte ich damit doch auch meine Schwierigkeiten,
weshalb ich meinen ersten Antwortversuch dann ab-
gebrochen habe. Bleibt also, die vorgegebene Formel
zu beweisen (durch Nachrechnen und mittels Mathe-
matica habe ich mich vergewissert, dass sie offenbar
stimmt).
Zuallererst verstehe ich an der Aufgabe aber nicht,
weshalb es unbedingt Plastiktüten sein müssen,
welche dann auch ausgerechnet noch mit Pi
bezeichnet werden, wie um Verwechslungen mit den
Wahrscheinlichkeiten [mm] P(A_n|A_i) [/mm] herauszufordern ...
Ich werde also die Tüten lieber mit [mm] T_i [/mm] bezeichnen.
Aber zur Sache:
Mit [mm] P(A_n|A_1) [/mm] wird offenbar die bedingte Wahrscheinlich-
keit bezeichnet, aus [mm] T_n [/mm] ein rotes Bonbon zu ziehen,
sofern aus [mm] T_1 [/mm] ein solches gezogen wurde. Zur Verein-
fachung führe ich noch die Bezeichnung [mm] R_k:=P(A_k|A_1) [/mm] ein.
Natürlich ist dann
$\ [mm] R_1\ [/mm] =\ [mm] P(A_1|A_1)\ [/mm] =\ 1$
Weiter gilt:
$\ [mm] R_2\ [/mm] =\ [mm] R_1*\frac{r+1}{r+g+1}+(1-R_1)*\frac{r}{r+g+1}$
[/mm]
oder für beliebige k [mm] (k\ge1) [/mm] :
$\ [mm] R_{k+1}\ [/mm] =\ [mm] R_k*\frac{r+1}{r+g+1}+(1-R_k)*\frac{r}{r+g+1}$
[/mm]
Dies kann man vereinfachen zu:
$\ [mm] R_{k+1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{R_k+r}{r+g+1}$
[/mm]
Damit sollte der Induktionsbeweis gelingen.
Auch wenn man mittels der Rekursionsformel etwa
die Terme für [mm] R_2, R_3, R_4, R_5 [/mm] bestimmt, wird an den
Ergebnissen die zu beweisende relativ einfache Formel
nicht ohne weiteres erkennbar.
Ich rätsle also ebenfalls weiter, ob es eine Betrachtungs-
weise gibt, bei der die Formel offensichtlich wird.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 06.09.2009 | | Autor: | Phiesel |
Hey!
vielen Dank,
sieht mir alles sehr logisch aus. Werde ich nachher mal nachrechnen. So nach und nach begreife ich auch mal was in Stochastik....
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