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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wahrscheinlichkeiten: Mengen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Di 27.05.2008
Autor: diecky

Aufgabe
Gegeben seien folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(A [mm] \cap [/mm] B) = 1/10
P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)=23/30
P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C)=1/5
Es sei bekannt, dass P(A)=P(B)=P(C) ist.

Man soll zeigen, dass P(A)=P(B)=P(C)=11/30 gilt.

Es handelt sich hierbei um ein Gedächtnisprotokoll einer Klausur und irgendwie hab ich den Verdacht,dass die Zahlen nicht 100%ig korrekt sind, oder ich einfach einen Dreher im Kopf habe und es evtl doch stimmt?!

Meine Idee:
P(A [mm] \cap [/mm] B)= P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B)

P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm] \cap [/mm] B) - P(A [mm] \cap [/mm] C) - P(B [mm] \cap [/mm] C) + P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C)

P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C) = P((A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] P(B [mm] \cap [/mm] C)) = P(A [mm] \cap [/mm] C) + P(B [mm] \cap [/mm] C) - P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)

Nun habe ich mir überlegt, dass ein Teil der dritten Gleichung ja mit der zweiten übereinstimmt, sodass man diesen Teil ersetzen kann, sprich:

-P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C) = -P(A [mm] \cap [/mm] C) - P(B [mm] \cap [/mm] C) + P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
=> P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm] \cap [/mm] B) - P((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C)
eingesetzt:
23/30 = P(A) + P(B) + P(C) - 1/10 - 1/5
32/30 = P(A) + P(B) + P(C)
Da die drei Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, hätte ich jetzt einfach durch 3 geteilt...allerdings kommt das mit der Lösung = 11/30 für jedes Ereignis nicht hin?!

Wo liegt der Fehler?
Danke!


        
Bezug
Wahrscheinlichkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Di 27.05.2008
Autor: abakus


> Gegeben seien folgende Wahrscheinlichkeiten:
>  P(A [mm]\cap[/mm] B) = 1/10
>  P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)=23/30
>  P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C)=1/5
>  Es sei bekannt, dass P(A)=P(B)=P(C) ist.
>  
> Man soll zeigen, dass P(A)=P(B)=P(C)=11/30 gilt.
>  Es handelt sich hierbei um ein Gedächtnisprotokoll einer
> Klausur und irgendwie hab ich den Verdacht,dass die Zahlen
> nicht 100%ig korrekt sind, oder ich einfach einen Dreher im
> Kopf habe und es evtl doch stimmt?!
>  
> Meine Idee:
>  P(A [mm]\cap[/mm] B)= P(A) + P(B) - P(A [mm]\cup[/mm] B)
>  
> P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) - P(A
> [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) + P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)

Das ist garantiert falsch. Mach dir mal ein Diagramm, in dem du die Wahrscheinlichkeiten von A, B und C durch sich gegenseitig überschneidende Kreise darstellst.
P(A)+P(B)+P(C) ist zu groß, weil einige Flächen mehrfach gezählt werden. Du hast richtig fortgesetzt:
... - P(A [mm] \cap [/mm] B) damit das Gemeinsame von A und B nicht doppelt gezählt wird
... - P(A [mm] \cap [/mm] C) damit das Gemeinsame von A und C nicht doppelt gezählt wird
allerdings nimmst du hier etwas weg, was vorher schon weggenommen wurde, nämlich das gemeinsame Stück von A, B und C
... - P(B [mm] \cap [/mm] C) damit das Gemeinsame von B und C nicht doppelt gezählt wird
... und hier nimmst du das schon nicht mehr vorhandene nochmal weg. Du musst deshalb am Ende das zweimal zu viel weggenommene auch zweimal wieder dazugeben:

P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C)=
P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) - P(A  [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) +2* P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
Viele Grüße
Abakus



>  
> P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C) = P((A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] P(B [mm]\cap[/mm] C)) = P(A
> [mm]\cap[/mm] C) + P(B [mm]\cap[/mm] C) - P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
>  
> Nun habe ich mir überlegt, dass ein Teil der dritten
> Gleichung ja mit der zweiten übereinstimmt, sodass man
> diesen Teil ersetzen kann, sprich:
>  
> -P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C) = -P(A [mm]\cap[/mm] C) - P(B [mm]\cap[/mm] C) + P(A
> [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)
>  => P(A [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup[/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm]\cap[/mm] B) -

> P((A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C)
>  eingesetzt:
>  23/30 = P(A) + P(B) + P(C) - 1/10 - 1/5
>  32/30 = P(A) + P(B) + P(C)
>  Da die drei Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, hätte
> ich jetzt einfach durch 3 geteilt...allerdings kommt das
> mit der Lösung = 11/30 für jedes Ereignis nicht hin?!




>  
> Wo liegt der Fehler?
>  Danke!
>  


Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeiten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:14 Mi 28.05.2008
Autor: diecky

Ich hab mich auch vertippt, in der hintersten Klammer sollte P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) stehen und nicht P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C).
Hab das mit dem Kreis auch so gemacht, allerdings versteh ich nicht wieso man P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) zwei Mal nach deiner Rechnung addieren sollte?! Muss da nicht nur ... + 1*P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) stehen?
Das klingt zwar logisch, aber in einem Lehrbuch steht's auch so, wie ich es zuerst hatte?

Und dann kommt die Lösung nämlich nicht hin??!
Hilfe!


Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeiten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 30.05.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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