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| Aufgabe | Ein Lebensmittelhändler prüft eine größere Sendung von Haselnüssen. Er erhält von seinem Lieferanten einen Preisnachlass, wenn der Anteil p der im Inneren schon vertrockneten Nüsse 10% der gesamten Lieferung übersteigt.
Dazu wird folgendes Prüfverfahren vereinbart: der Händler entnimmt eine zufällige Stichprobe von 100 Stück. Sind mehr als 10 Nüsse in der Stichprobe vertrocknet, so muss der Lieferant den Preisnachlass gewähren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lieferant einen Preisnachlass gewähren muss, obwohl nur 10% der Haselnüsse vertrocknet sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Händler keinen preisnachlass erhält, obwohl 20% der Nüsse vertrocknet sind?
c) Wie beurteilst du aufgrund der Ergebnisse aus a) und b) dieses Prüfverfahren?
d) Wie muss das Testverfahren (bei gleichem Stichprobenumfang n=100, p=10%) abgeändert werden, damit der Händler mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% zu Unrecht einen Preisnachlass erhält?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich dachte, die erste Teilfrage beantworten zu können und zwar wie folgt: Es sind genau 10% vertrocknete Nüsse enthalten. Also geht es in der ersten Frage darum: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Stichprobe von 100 Nüssen genau diese 10% zu erwischen? Ich hab es mit der Gegenwahrscheinlichkeit gerechnet. Und zwar: 1 weniger der Wahrscheinlichkeit keine dieser 10% vertrockneten Nüsse zu erwischen =0,9^100.
Das Problem: es kommt dabei eine Wahrscheinlichkeit von 0,999 heraus... und das erscheint mir als nicht richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 28.01.2006 | | Autor: | WiWi |
Ein Lebensmittelhändler prüft eine größere Sendung von Haselnüssen. Er erhält von seinem Lieferanten einen Preisnachlass, wenn der Anteil p der im Inneren schon vertrockneten Nüsse 10% der gesamten Lieferung übersteigt.
Dazu wird folgendes Prüfverfahren vereinbart: der Händler entnimmt eine zufällige Stichprobe von 100 Stück. Sind mehr als 10 Nüsse in der Stichprobe vertrocknet, so muss der Lieferant den Preisnachlass gewähren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lieferant einen Preisnachlass gewähren muss, obwohl nur 10% der Haselnüsse vertrocknet sind?
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit: p>0.1
Ferner setzen wir voraus, dass die Wahrscheinlichkeit, eine schlechte Nuss zu erwischen 0.1 beträgt. Dann ergibt sich eine Binomialverteilung mit den Parametern x~B(100;0,1). Gesucht ist nun 1-P(X>10). Kumulierte Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ablesen... und BING.
Eine andere Möglichkeit, die hier nur angerissen werden soll, wäre folgende: Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt, dass Summen und Durchschnitte (bzw. hier nach Laplace-Moivre: Anteilswerte) ab einer bestimmten Stichprobengröße approximativ normalverteilt sind.
Es gilt also: [mm] p~N(n\pi;n\pi(1-\pi)
[/mm]
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Händler keinen preisnachlass erhält, obwohl 20% der Nüsse vertrocknet sind?
Analog mit x~B(100;0,2). Gesucht ist hier P(X<11).
c) Wie beurteilst du aufgrund der Ergebnisse aus a) und b) dieses Prüfverfahren?
Stichprobenwerte eben: Abhängig von der Größe der Stichprobe mehr oder weniger repräsentativ. (Allerdings bietet die Testtheorie verschiedene statistische Methoden, anhand derer man die Zuverlässigkeit einschätzen kann.)
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