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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Imperial |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
Trotz aller Warnungen fahren viele Urlauber ohne ausreichenden Impfschutz in tropische Gegenden; offensichtlich halten sie z.B. die Ansteckungsrate von 6% für Malaria für nicht gefährlich. Hotels in diesen Gegenden bieten für Touristen Schnelltests an, mit denen diese ohne großen Aufwand überprüfen können, ob sie sich mit Malaria infiziert haben. Unabhängig von den Schwierigkeiten mancher touristen die schnelltests durchzuführen, sind diese Schnelltests selber nicht sicher:
- Nur bei 77% der tatsächlich infizierten erfolgt eine "positive" Testreaktion
- Bei 95% der tatsächlich Nicht-infizierten erfolgt eine "negative" Testreaktion.
Und nun die Fragen:
1. Angenommen, eine Person will vorsichtshalber einen Schnelltest durchführen; sie führt den Test korrekt durch und das Testergebnis ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person tatsächlich an Malaria erkrankt?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie nicht infiziert, wenn die Testreaktion negativ ist?
Nun mein Problem:
Wir sollen die Aufgabe mit diesen Bäumchen berechnen. ich habe auch schon einen solchen Baum erstellt: ich habe oben mit "krank" und "nicht krank" begonnen und habe weiter unten dann mit jeweils "Test positiv" oder "Test negativ" weitergemacht. Um diese Aufgabe zu lösen muss ich den Baum nun aber umdrehen (also mit dem Testergebnis oben anfangen und NICHT mit der Tatsache "krank" "nicht krank") und ich weiß absolut nicht welche Wahrscheinlichkeiten nun wo dran gehören bzw. wie ich überhaupt an die fehlenden wahrscheinlichkeiten drankomme...
Hoffentlich kann mir jemand helfen!
Viele Grüße
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Hi, Imperial,
dies ist eine Aufgabe zum Thema "bedingte Wahrscheinlichkeit".
Man kann solche Probleme natürlich mit dem Baumdiagramm lösen,
aber die 4-Feldertafel erscheint mir eigentlich besser.
Ich geb' Dir mal zunächst die Wahrscheinlichkeiten, die aus dem Text abgelesen oder leicht errechnet werden können:
(K steht für "erkrankt" bzw. infiziert, [mm] \overline{K} [/mm] für nicht "erkrankt",
T für "Test positiv", [mm] \overline{T} [/mm] für "Test negativ")
P(K) = 0,06; [mm] P(\overline{K}) [/mm] = 0,94
[mm] P_{K}(T) [/mm] = 0,77 (bedingte Wahrscheinlichkeit!)
Mit Formel: [mm] \bruch{P(K \cap T)}{P(K)} [/mm] = 0,77
Daraus: P(K [mm] \cap [/mm] T) = 0,77*0,06 = 0,042
[mm] P_{\overline{K}}(\overline{T}) [/mm] = 0,95 (wieder bedingte Wahrscheinlichkeit!)
Mit Formel: [mm] \bruch{P(\overline{K} \cap \overline{T})}{P(\overline{K})} [/mm] = 0,95
Daraus: P( [mm] \overline{K} \cap \overline{T}) [/mm] = 0,95*0,94 = 0,893
Die anderen Wahrscheinlichkeiten der 4-Feldertafel lassen sich einfach über die entsprechenden Summen berechnen.
Daraus kann man nun noch ermitteln:
postive Testergebnisse insgesamt: P(T) = 0,0462 + 0,047 = 0,0932
negative Testergebnisse insgesamt: [mm] P(\overline{T}) [/mm] = 0,0138 + 0,893 = 0,9068
(Hoffentlich haben sich da keine Rechenfehler eingeschlichen!)
Nun zu Deinen Aufgaben:
> 1. Angenommen, eine Person will vorsichtshalber einen
> Schnelltest durchführen; sie führt den Test korrekt durch
> und das Testergebnis ist positiv. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit ist diese Person tatsächlich an Malaria
> erkrankt?
Bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] P_{T}(K) [/mm] = [mm] \bruch{P(K \cap T)}{P(T)} [/mm] = [mm] \bruch{0,0462}{0,0932} [/mm] = 0,4957 (knapp 50% !!)
> 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie nicht infiziert,
> wenn die Testreaktion negativ ist?
Natürlich auch bedingte W.!
[mm] P_{\overline{T}}(\overline{K}) [/mm] = [mm] \bruch{P(\overline{K} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} [/mm] = [mm] \bruch{0,893}{0,9068} [/mm] = 0,9848
(immerhin etwa 98,5 %)
Wie gesagt: Keine Garantie für Rechenfehler; daher unbedingt nachrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Imperial |
Vielen Dank fürs beantworten. Dank der Erklärung hab ich nun auch verstanden wie man das mit der 4-Feldertafel rechenen kann!
Viele Grüße
Imperial
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